यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी फ़्रीक्वेंसी-वेटेड डेटा सेट पर \(y = A\cdot e^{Bx}\) रूप का एक्सपोनेंशियल ट्रेंड वक्र फ़िट करता है। हर डेटा पंक्ति एक त्रिक (x, y, f) होती है, जहाँ f फ़्रीक्वेंसी या वेट है — यानी वह प्रेक्षण कितनी बार आता है। यह फ़िट किए गए गुणांक A और B के साथ-साथ अंतर्निहित रैखिक फ़िट का सहसंबंध गुणांक r लौटाता है। यह शुद्ध गणित है और हर जगह बिल्कुल एक जैसा लागू होता है — इसमें किसी देश-विशेष का नियम नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
हर पंक्ति में एक बिंदु x, y, f के रूप में दर्ज करें। y का मान 0 से बड़ा होना चाहिए, क्योंकि मॉडल को इसके प्राकृतिक लघुगणक (natural log) से रैखिक बनाया जाता है। यदि आप तीसरा कॉलम नहीं भरते, तो फ़्रीक्वेंसी डिफ़ॉल्ट रूप से 1 मान ली जाती है। तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, फिर A, B, r और मानों के साथ बना फ़िट समीकरण देख लें।
सूत्र की व्याख्या
चूँकि ln y = ln A + B·x होता है, इसलिए एक्सपोनेंशियल फ़िट करना दरअसल ln y का x पर वेटेड रैखिक रिग्रेशन बन जाता है। वेटेड योगफलों का उपयोग करते हुए, जहाँ हर पद को फ़्रीक्वेंसी f से गुणा किया जाता है, परिभाषित करें: \(n = \sum f\), वेटेड माध्य \(\bar{x}\) और \(\bar{L}\) (\(\ln y\) का माध्य), तथा वर्गों के वेटेड योग \(S_{xx}\), \(S_{yy}\) और गुणनफल योग \(S_{xy}\)। तब $$y = A \cdot e^{B x}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \\ A &= e^{\,\bar{L} - B\bar{x}} \\ S_{xx} &= \textstyle\sum f x^{2} - n\bar{x}^{2} \\ S_{xy} &= \textstyle\sum f x \ln y - n\bar{x}\bar{L} \\ n &= \textstyle\sum f,\quad \bar{x}=\tfrac{\sum f x}{n},\quad \bar{L}=\tfrac{\sum f \ln y}{n} \end{aligned} \right.$$ और \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\)। r का मान \(\pm 1\) के निकट होना मज़बूत फ़िट दर्शाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु (1, 2.7), (2, 7.4), (3, 20.1), (4, 54.6) लीजिए, प्रत्येक की फ़्रीक्वेंसी 1 है, जो \(y = e^{x}\) के काफ़ी निकट हैं। यहाँ \(\bar{x} = 2.5\), \(\bar{L} \approx 2.49887\), \(S_{xx} = 5\), \(S_{xy} \approx 5.0098\), \(S_{yy} \approx 5.0196\)। तो \(B \approx 1.0020\), \(A = e^{2.49887 - 2.5048} \approx 0.9940\), और \(r \approx 0.9998\)। फ़िट समीकरण लगभग $$y = 0.9940 \cdot e^{1.0020\,x}$$ है — यानी मूलतः \(y = e^{x}\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
y का धनात्मक होना क्यों ज़रूरी है? फ़िट में \(\ln(y)\) का उपयोग होता है; शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित होता है, इसलिए ऐसी पंक्तियाँ अस्वीकार कर दी जाती हैं।
फ़्रीक्वेंसी f किसका प्रतिनिधित्व करती है? यह तय करती है कि कोई बिंदु फ़िट को कितनी मज़बूती से प्रभावित करता है — यह उन फ़्रीक्वेंसी डिस्ट्रीब्यूशन तालिकाओं के लिए उपयोगी है जहाँ कई प्रेक्षणों का (x, y) एक ही होता है।
r को कैसे पढ़ें? |r| का 0.7 से ऊपर होना मज़बूत सहसंबंध है, 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमज़ोर, और 0.2 से नीचे लगभग कोई सहसंबंध नहीं।
