विकर्णों से समचतुर्भुज का क्षेत्रफल, परिमाप और शीर्ष कोण

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विकर्ण a

विकर्ण b

सूत्र (फॉर्मूला)

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1. Perimeter

   

   Perimeter from the diagonals via the side length.

2. Vertex Angle A

   

   Angle facing diagonal b, in degrees.

3. Vertex Angle B

   

   Angle facing diagonal a, in degrees.

परिणाम

क्षेत्रफल S

3

वर्ग इकाई

परिमाप L	7.211103 units
Vertex angle θa	112.6199°
Vertex angle θb	67.3801°

यह कैलकुलेटर क्या करता है

समचतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएं बराबर होती हैं। इसके दोनों विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं और आपस में समद्विभाजित करते हैं, यानी सिर्फ दोनों विकर्णों की लंबाई जानना ही पूरी आकृति को परिभाषित करने के लिए काफी है। यह टूल विकर्ण a और b (किसी भी एक समान लंबाई मात्रक में) लेता है और क्षेत्रफल, परिमाप तथा दोनों आंतरिक शीर्ष कोण बताता है। यह शुद्ध ज्यामिति है, इसलिए दुनिया में कहीं भी एक जैसे नियमों से लागू होती है — कोई देश-विशेष नियम लागू नहीं होते।

एक समचतुर्भुज जिसके विकर्ण a और b केंद्र पर समकोण बनाते हुए मिलते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

विकर्ण a और विकर्ण b की लंबाई डालें, दोनों के लिए एक ही मात्रक का प्रयोग करें (जैसे सेंटीमीटर, मीटर या इंच)। दोनों मान शून्य से बड़े होने चाहिए। क्षेत्रफल उसी मात्रक के वर्ग में, परिमाप उसी मात्रक में, और दोनों कोण डिग्री में मिलेंगे।

सूत्रों की व्याख्या

चूंकि विकर्ण समकोण पर मिलते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए प्रत्येक अर्ध-विकर्ण \(a/2\) और \(b/2\) होता है, जिससे भुजा की लंबाई \(s = \sqrt{(a/2)^{2} + (b/2)^{2}} = \tfrac{1}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) होती है।

• क्षेत्रफल: $$S = \frac{a \cdot b}{2}$$
• परिमाप: $$L = 4s = 2\cdot\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
• विकर्ण a पर शीर्ष कोण: $$\theta_a = 2\cdot\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)$$
• विकर्ण b पर शीर्ष कोण: $$\theta_b = 2\cdot\arctan\!\left(\frac{a}{b}\right)$$

दोनों कोण संपूरक होते हैं, यानी \(\theta_a + \theta_b\) हमेशा \(180^\circ\) के बराबर होता है।

विकर्ण समचतुर्भुज को चार समकोण त्रिभुजों में बाँट देते हैं, जिससे भुजा की लंबाई और शीर्ष कोण मिलते हैं।

हल किया गया उदाहरण

मान लें \(a = 2\) और \(b = 3\): $$S = \frac{2\cdot 3}{2} = 3 \text{ वर्ग इकाई}$$ $$L = 2\cdot\sqrt{4 + 9} = 2\cdot\sqrt{13} \approx 7.2111 \text{ इकाई}$$ $$\theta_a = 2\cdot\arctan(3/2) \approx 112.6199^\circ$$ और $$\theta_b = 2\cdot\arctan(2/3) \approx 67.3801^\circ$$ इनका योग ठीक \(180^\circ\) है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर दोनों विकर्ण बराबर हों तो क्या होगा? तब समचतुर्भुज एक वर्ग बन जाता है: क्षेत्रफल \(a^{2}/2\) हो जाता है और दोनों शीर्ष कोण \(90^\circ\) होते हैं।

मुझे कौन-सा मात्रक इस्तेमाल करना चाहिए? कोई भी मात्रक, बशर्ते दोनों विकर्ण एक ही मात्रक में हों। नतीजा क्षेत्रफल उसी मात्रक के वर्ग में और परिमाप उसी मात्रक में मिलेगा।

दो कोण क्यों होते हैं? समचतुर्भुज में बराबर सम्मुख कोणों के दो जोड़े होते हैं। विकर्ण a पर स्थित शीर्षों वाला जोड़ा \(\theta_a\) के बराबर होता है, और दूसरा जोड़ा \(\theta_b = 180^\circ - \theta_a\) के बराबर होता है।