À quoi sert ce calculateur
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Ses deux diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : il suffit donc de connaître la longueur des deux diagonales pour décrire entièrement la figure. Cet outil prend les diagonales a et b (dans n'importe quelle unité de longueur, à condition qu'elle soit identique pour les deux) et renvoie l'aire, le périmètre et les deux angles intérieurs. Il s'agit de géométrie pure : les résultats sont les mêmes partout, sans aucune règle propre à un pays.
Comment l'utiliser
Entrez la longueur de la diagonale a et celle de la diagonale b en utilisant la même unité pour les deux (par exemple des centimètres, des mètres ou des pouces). Les deux valeurs doivent être strictement positives. L'aire est exprimée dans le carré de cette unité, le périmètre dans la même unité et les deux angles en degrés.
Les formules expliquées
Comme les diagonales se croisent à angle droit et se coupent en leur milieu, chaque demi-diagonale vaut \(a/2\) et \(b/2\) ; la longueur d'un côté est donc \(s = \sqrt{(a/2)^{2} + (b/2)^{2}} = \tfrac{1}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
- Aire : $$S = \frac{a \cdot b}{2}$$
- Périmètre : $$L = 4s = 2\cdot\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$
- Angle au sommet sur la diagonale a : $$\theta_a = 2\cdot\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)$$
- Angle au sommet sur la diagonale b : $$\theta_b = 2\cdot\arctan\!\left(\frac{a}{b}\right)$$
Les deux angles sont supplémentaires : \(\theta_a + \theta_b\) est donc toujours égal à \(180°\).
Exemple concret
Pour \(a = 2\) et \(b = 3\) : $$S = \frac{2\cdot 3}{2} = 3 \text{ unités carrées.}$$ $$L = 2\cdot\sqrt{4 + 9} = 2\cdot\sqrt{13} \approx 7{,}2111 \text{ unités.}$$ \(\theta_a = 2\cdot\arctan(3/2) \approx 112{,}6199°\) et \(\theta_b = 2\cdot\arctan(2/3) \approx 67{,}3801°\). Leur somme vaut exactement \(180°\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si les deux diagonales sont égales ? Le losange devient un carré : l'aire vaut \(a^{2}/2\) et les deux angles au sommet mesurent \(90°\).
Quelle unité utiliser ? N'importe laquelle, du moment que les deux diagonales partagent la même. L'aire obtenue est exprimée dans cette unité au carré et le périmètre dans la même unité.
Pourquoi y a-t-il deux angles ? Un losange possède deux paires d'angles opposés égaux. La paire située aux sommets portés par la diagonale a vaut \(\theta_a\), tandis que l'autre paire vaut \(\theta_b = 180° - \theta_a\).
