Qu'est-ce qu'un calculateur de losange ?
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur \(a\). Les angles opposés sont égaux (\(A = C\) et \(B = D\)), les angles adjacents sont supplémentaires (\(A + B = 180^\circ\)), et les deux diagonales \(p\) et \(q\) se coupent perpendiculairement en leur milieu. Ce calculateur part de deux propriétés connues et détermine tout le reste : les angles aux sommets, les deux diagonales, la hauteur, le périmètre et l'aire.
Comment l'utiliser
Dans le menu « Choisir un calcul », sélectionnez l'option qui correspond aux deux grandeurs que vous connaissez — par exemple « Connaissant \(a\), \(h\) » ou « Connaissant \(p\), \(q\) ». Saisissez les valeurs demandées, choisissez une unité d'affichage (il s'agit d'une simple étiquette : elle ne modifie pas les nombres) ainsi que le nombre de chiffres significatifs, puis consultez l'ensemble des résultats. Les angles se saisissent et s'affichent en degrés.
Les formules expliquées
Le moteur de calcul repose sur quatre expressions de l'aire et sur les relations entre diagonales. L'aire peut s'écrire $$K = a^2 \sin A = \frac{p \cdot q}{2} = a \cdot h$$ La hauteur vérifie \(h = a \cdot \sin A\). Les diagonales découlent de \(p = 2a \cdot \cos(A/2)\) et \(q = 2a \cdot \sin(A/2)\), qui se combinent dans la loi du parallélogramme \(p^2 + q^2 = 4a^2\) ; le côté se retrouve donc par \(a = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2 + q^2}\). Le périmètre vaut simplement \(P = 4a\).
Exemple détaillé
Supposons \(a = 5\) et \(h = 4\). Alors \(\sin A = h/a = 0{,}8\), d'où \(A = \arcsin(0{,}8) = 53{,}1301^\circ\) et \(B = 180 - 53{,}1301 = 126{,}870^\circ\). Les diagonales valent $$p = 2 \cdot 5 \cdot \cos(26{,}5651^\circ) = 8{,}94427$$ $$q = 2 \cdot 5 \cdot \sin(26{,}5651^\circ) = 4{,}47214$$ Le périmètre est \(P = 4 \cdot 5 = 20\) et l'aire vaut \(K = a \cdot h = 20\) (ce qui correspond aussi à \(p \cdot q/2 = 20\)). Les trois méthodes de calcul de l'aire concordent.
FAQ
Pourquoi l'angle obtenu est-il l'angle aigu ? À partir d'un côté associé à une hauteur ou à une aire, la forme du losange reste ambiguë entre un angle aigu et son supplémentaire. Nous indiquons \(A\) comme valeur aiguë et \(B = 180^\circ - A\) comme son supplément, ce qui est parfaitement cohérent.
Le menu des unités convertit-il les valeurs ? Non. Toutes les longueurs partagent la même unité ; le menu ne fait qu'ajouter une étiquette. Les aires sont exprimées dans cette unité au carré.
Et si aucun losange n'existe ? Si une hauteur dépasse le côté, ou si une diagonale atteint \(2a\), la figure est impossible ou dégénérée ; le calculateur borne les arguments trigonométriques afin que les résultats restent bien définis.
