ما هي حاسبة المعين؟
المعيّن شكل رباعي تتساوى أضلاعه الأربعة في الطول \(a\). زواياه المتقابلة متساوية (\(A = C\) و \(B = D\))، وزواياه المتجاورة متكاملة (\(A + B = 180^\circ\))، كما ينصّف قطراه \(p\) و \(q\) بعضهما بزاوية قائمة. تأخذ هذه الحاسبة أي خاصيتين معلومتين وتحسب الباقي كله: زوايا الرؤوس، والقطرين، والارتفاع، والمحيط، والمساحة.
كيفية الاستخدام
اختر العملية المناسبة من قائمة "اختر العملية الحسابية" بحسب الكميتين اللتين تعرفهما — مثلًا "بمعلومية \(a\) و \(h\)" أو "بمعلومية \(p\) و \(q\)". أدخل القيم المقابلة، واختر وحدة العرض (وهي مجرد تسمية ولا تُعيد ضبط الأرقام) وعدد الأرقام المعنوية، ثم اطّلع على مجموعة النتائج الكاملة. تُدخل الزوايا وتُعرض بالدرجات.
شرح المعادلات
يقوم المحرّك على أربع صيغ للمساحة وعلى علاقات القطرين. يمكن كتابة المساحة بالشكل $$K = a^2 \sin A = \frac{p \cdot q}{2} = a \cdot h$$ ويتحقق الارتفاع من العلاقة \(h = a \cdot \sin A\). أما القطران فينتجان من $$p = 2a\cos\tfrac{A}{2},\quad q = 2a\sin\tfrac{A}{2},\quad p^2 + q^2 = 4a^2$$ اللذين يجتمعان في قانون متوازي الأضلاع \(p^2 + q^2 = 4a^2\)، فيُسترجَع الضلع من العلاقة \(a = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2 + q^2}\). أما المحيط فهو ببساطة \(P = 4a\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 5\) و \(h = 4\). عندئذٍ \(\sin A = h/a = 0.8\)، فيكون \(A = \arcsin(0.8) = 53.1301^\circ\) و \(B = 180 - 53.1301 = 126.870^\circ\). والقطران هما $$p = 2 \cdot 5 \cdot \cos(26.5651^\circ) = 8.94427$$ $$q = 2 \cdot 5 \cdot \sin(26.5651^\circ) = 4.47214$$ والمحيط \(P = 4 \cdot 5 = 20\)، والمساحة \(K = a \cdot h = 20\) (وهي تساوي أيضًا \(p \cdot q/2 = 20\)). تتطابق جميع الطرق الثلاث لحساب المساحة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون الزاوية هي الحادّة؟ عند معلومية ضلع مع ارتفاع أو مساحة، يصبح شكل المعين غامضًا بين زاوية حادّة ومكمّلتها. لذلك نُورد \(A\) بوصفها القيمة الحادّة و \(B = 180^\circ - A\) بوصفها مكمّلتها، وهو أمر متّسق تمامًا.
هل تحوّل قائمة الوحدات القيم؟ لا. فجميع الأطوال تشترك في وحدة واحدة، ومن ثَمّ تكتفي القائمة بإلحاق تسمية؛ وتُعرض المساحات بمربّع هذه الوحدة.
ماذا لو لم يكن المعين ممكنًا؟ إذا تجاوز الارتفاع طول الضلع، أو بلغ أحد القطرين \(2a\)، يصبح الشكل مستحيلًا أو منحلًّا؛ وتقوم الحاسبة بتقييد وսائط الدوال المثلثية لإبقاء النتائج محدّدة جيدًا.
