什么是定义域和值域计算器？
这款工具可以帮你确定四类常见函数的定义域（所有有效的自变量 x 取值）和值域（所有可能的因变量 y 取值），涵盖一次函数、二次函数、分式函数和根号函数。计算结果以标准的区间表示法和集合表示法呈现。
使用方法
先从下拉菜单中选择函数类型，再填入相应的系数。对于二次函数 \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\)，需要输入 a、b 和 c；对于分式函数 \(a/(x - h)\) 或根号函数 \(\sqrt{x - h}\)，则只需输入 h。用不到的输入框保持为 0 即可。
公式详解
一次函数（\(a \neq 0\)）的定义域和值域都是全体实数。 $$f(x) = a\,x + b \;\Rightarrow\; \text{Domain} = (-\infty, \infty),\quad \text{Range} = (-\infty, \infty)$$ 二次函数的定义域同样是全体实数；其值域由顶点纵坐标 \(y_{v} = c - b^{2}/(4a)\) 决定：当 \(a > 0\) 时为 \([y_{v}, \infty)\)，当 \(a < 0\) 时为 \((-\infty, y_{v}]\)。 $$f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c \;\Rightarrow\; \text{Domain} = (-\infty, \infty),\quad \text{Range} = \left[\,c - \frac{b^{2}}{4\,a},\; \infty\right)$$ 分式函数 \(a/(x - h)\) 的定义域要排除 \(x = h\)，值域要排除 \(y = 0\)。 $$f(x) = \frac{a}{x - h} \;\Rightarrow\; \text{Domain} = \{\,x \neq h\,\},\quad \text{Range} = \{\,y \neq 0\,\}$$ 根号函数 \(\sqrt{x - h}\) 要求 \(x - h \geq 0\)，因此定义域为 \([h, \infty)\)，值域为 \([0, \infty)\)。 $$f(x) = \sqrt{\,x - h\,} \;\Rightarrow\; \text{Domain} = \left[\,h,\; \infty\right),\quad \text{Range} = [\,0,\; \infty)$$
实例演算
以二次函数 \(x^{2} - 4x + 3\) 为例，此时 \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\)。顶点纵坐标为 $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ 由于 \(a > 0\)，值域为 \([-1, \infty)\)，定义域则为全体实数。
常见问题
为什么二次函数的定义域总是全体实数？多项式函数对任意输入都有定义，因此不存在任何限制。
是什么限制了分式函数的定义域？凡是使分母为零的 x 值都要排除，因为除以零是没有意义的。
根号函数的值域可以是负数吗？不能。算术平方根的结果恒为 \(\geq 0\)，所以值域从 0 开始。
