À quoi sert le calculateur de domaine et d'image ?
Cet outil détermine le domaine de définition (toutes les valeurs de x admissibles) et l'image (toutes les valeurs de y possibles) pour quatre familles de fonctions courantes : affines, du second degré, rationnelles et racine carrée. Les résultats sont donnés en notation d'intervalle et d'ensemble standard.
Comment l'utiliser
Choisissez un type de fonction dans le menu déroulant, puis saisissez les coefficients correspondants. Pour une fonction du second degré \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\), indiquez a, b et c. Pour une fonction rationnelle \(a/(x - h)\) ou racine carrée \(\sqrt{x - h}\), indiquez h. Les champs inutilisés peuvent rester à zéro.
Les formules expliquées
Les fonctions affines (a ≠ 0) couvrent l'ensemble des réels, aussi bien pour le domaine que pour l'image. Une fonction du second degré a pour domaine l'ensemble des réels ; son image est délimitée par l'ordonnée du sommet \(y_{s} = c - b^{2}/(4a)\), ce qui donne \([y_{s}, +\infty)\) lorsque a > 0 et \((-\infty, y_{s}]\) lorsque a < 0. Une fonction rationnelle \(a/(x - h)\) exclut x = h du domaine et y = 0 de l'image. Une fonction racine carrée \(\sqrt{x - h}\) exige x − h ≥ 0 : le domaine est donc \([h, +\infty)\) et l'image \([0, +\infty)\).
Exemple concret
Pour la fonction du second degré \(x^{2} - 4x + 3\), on a a = 1, b = −4, c = 3. L'ordonnée du sommet vaut $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Comme a > 0, l'image est \([-1, +\infty)\) et le domaine est l'ensemble des réels.
FAQ
Pourquoi le domaine d'une fonction du second degré est-il toujours l'ensemble des réels ? Les polynômes sont définis pour toute valeur d'entrée : il n'existe donc aucune restriction.
Qu'est-ce qui limite le domaine d'une fonction rationnelle ? Toute valeur de x qui annule le dénominateur est exclue, car la division par zéro n'est pas définie.
L'image d'une fonction racine carrée peut-elle être négative ? Non — la racine carrée principale est toujours ≥ 0, donc l'image débute à 0.
