合成函數計算機 (f∘g)(x)

輸入計算

f(x)：a·x² + b·x + c — a

b

c

g(x)：d·x² + e·x + h — d

e

h

代入的 x 值

結果

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

9

在指定 x 處的值

g(x)	3
(f ∘ g)(x) = f(g(x))	9
f(x)	4
(g ∘ f)(x) = g(f(x))	5

什麼是合成函數？

合成函數是把一個函數的輸出，當作另一個函數的輸入，藉此將兩個函數結合在一起。符號 (f∘g)(x) 唸作「f 合成 g」，意思是先把內層函數 g 代入 x 求值，再把結果丟進 f：(f∘g)(x) = f(g(x))。要特別注意，順序會影響答案——反過來寫成 (g∘f)(x) = g(f(x))，通常會得到不一樣的結果。

複合函數把兩個函數串聯起來：x 進入 g，然後 g(x) 進入 f。

如何使用這個計算機

請依序輸入兩個二次函數的係數：f(x) = a·x² + b·x + c 與 g(x) = d·x² + e·x + h。如果想處理像 g(x) = 2x + 1 這種一次函數，只要設定 d = 0、e = 2、h = 1 即可。若要表示常數函數，把較高次的係數都設為 0 就好。接著選定要代入的 x 值，計算機就會回傳 g(x)、f(g(x))、f(x) 與 g(f(x))，方便你一次比較兩種合成方式。

公式解析

計算 (f∘g)(x) 的步驟如下：先求出內層的值 u = g(x) = d·x² + e·x + h，再把 u 代入 f：f(u) = a·u² + b·u + c。因此合成後的值就是 a·g(x)² + b·g(x) + c。而反向合成 (g∘f)(x) 則是把角色對調，改以 f(x) 作為內層的值。

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順序很重要：(f∘g)(x) 和 (g∘f)(x) 通常不同。

範例演算

假設 f(x) = x² + 1（a=1、b=0、c=1）、g(x) = 2x + 3（d=0、e=2、h=3），並在 x = 2 處求值。首先算 g(2) = 2·2 + 3 = 7，接著 f(7) = 7² + 1 = 50，所以 (f∘g)(2) = 50。對照之下，f(2) = 5，而 (g∘f)(2) = g(5) = 2·5 + 3 = 13，結果明顯不同。

常見問題

(f∘g)(x) 跟 f(x)·g(x) 一樣嗎？不一樣。合成是把 g(x) 代入 f，而相乘則是把兩個函數的輸出相乘，兩者是完全不同的運算。

(f∘g) 會等於 (g∘f) 嗎？只有在特殊情況下才會相等。一般而言，函數合成並不具備交換律。

可以使用一次函數嗎？可以——只要把 x² 的係數設為 0，就能得到一次函數或常數函數。