什麼是中國剩餘定理？
中國剩餘定理（CRT，又稱孫子定理）是數論中的經典結果，源自《孫子算經》中「物不知數」的問題。它指出：若有一組同餘方程 \(x \equiv a_1 \pmod{m_1}\)、\(x \equiv a_2 \pmod{m_2}\)、……，而這些模數彼此兩兩互質（任兩個之間沒有公因數），則在模 \(M = m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots\) 之下必定存在唯一解。本計算機會替你找出其中最小的非負解。
如何使用本計算機
請依序輸入每一組餘數 \(a_i\) 與對應的模數 \(m_i\)。你可以求解兩組或三組同餘方程——若只需要兩組，將第三個模數欄位留空即可。工具會先檢查模數是否兩兩互質，再傳回 \(x\) 與合成模數 \(M\)。任何形如 \(x + Mk\)（\(k\) 為任意整數）的數值同樣是方程組的解。
公式解析
令 \(M = \prod m_i\)。對每一條同餘式定義 \(M_i = M / m_i\)，並計算 \(y_i = M_i^{-1} \bmod m_i\)，也就是用擴展歐幾里得演算法求得的模反元素。最終解為加權總和 $$x \equiv \sum_{i} a_i\,M_i\,y_i \pmod{M}$$ 由於 \(M_i\) 能被除了 \(m_i\) 以外的每個模數整除，因此每一項只會對自己所屬的那條同餘式貢獻正確的餘數。
實例演算
求解 \(x \equiv 2 \pmod{3}\) 與 \(x \equiv 1 \pmod{4}\)。此時 \(M = 3 \cdot 4 = 12\)。\(M_1 = 4\)，而 \(4 \equiv 1 \pmod{3}\)，故 \(y_1 = 1\)；\(M_2 = 3\)，而 \(3 \equiv 3 \pmod{4}\)，故 \(y_2 = 3\)（因為 \(3 \cdot 3 = 9 \equiv 1\)）。於是 $$x = 2 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 3 = 8 + 9 = 17 \equiv 5 \pmod{12}$$ 即 5 (mod 12)。驗算：\(5 \bmod 3 = 2\) ✓，\(5 \bmod 4 = 1\) ✓。
常見問題
為什麼模數必須兩兩互質？如果兩個模數有共同因數，方程組可能無解，或者在它們的最小公倍數之下出現多個解，此時標準的 CRT 公式便不再適用。
「最小非負解」是什麼意思？所有的解彼此都相差 \(M\) 的整數倍；計算機會回報落在 0 到 \(M-1\) 範圍內的那一個。
可以輸入負的餘數嗎？可以。系統會在求解前，先把每個負餘數對應 \(m_i\) 化簡到 0 到 \(m_i-1\) 的範圍內。
