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Plus petite solution positive

x (mod 15)

Une solution unique existe	Yes (mod 15)
Congruences utilisées	2
Solution générale	x = 8 + 15k

Qu'est-ce que le théorème des restes chinois ?

Le théorème des restes chinois (souvent abrégé CRT, d'après l'anglais Chinese Remainder Theorem) est un résultat fondamental de la théorie des nombres. Il affirme que si l'on dispose d'un système de congruences $x \equiv a_1 \pmod{m_1}$, $x \equiv a_2 \pmod{m_2}$, … dont les modules sont premiers entre eux deux à deux (sans facteur commun), alors il existe une unique solution $x$ modulo $M = m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots$. Ce calculateur détermine cette plus petite solution positive.

Droite numérique montrant un point unique satisfaisant deux conditions de congruence périodiques — Le TRC trouve une unique valeur mod M qui satisfait toutes les congruences à la fois.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez chaque reste $a_i$ accompagné de son module $m_i$. Vous pouvez résoudre un système de deux ou trois congruences : laissez le troisième module vide si deux suffisent. L'outil vérifie que vos modules sont bien premiers entre eux deux à deux, puis renvoie $x$ ainsi que le module combiné $M$. Toute valeur de la forme $x + Mk$ (pour tout entier $k$) est elle aussi solution.

La formule expliquée

Posons $M = \prod m_i$. Pour chaque congruence, on définit $M_i = M / m_i$ et $y_i = M_i^{-1} \bmod m_i$ (l'inverse modulaire calculé grâce à l'algorithme d'Euclide étendu). La solution est la somme pondérée $$ x \equiv \sum_{i} a_i\,M_i\,y_i \pmod{M} $$ Comme $M_i$ est divisible par tous les modules sauf $m_i$, chaque terme ne fournit le bon reste que pour sa propre congruence.

Schéma décomposant la formule du TRC en composantes M, M_i et y_i — Chaque congruence apporte un terme a_i M_i y_i, que l'on somme puis réduit mod M.

Exemple résolu

Résolvons $x \equiv 2 \pmod 3$ et $x \equiv 1 \pmod 4$. Ici $M = 3 \cdot 4 = 12$. $M_1 = 4$, et $4 \equiv 1 \pmod 3$ donc $y_1 = 1$ ; $M_2 = 3$, et $3 \equiv 3 \pmod 4$ donc $y_2 = 3$ (car $3 \cdot 3 = 9 \equiv 1$). On obtient $$ x = 2 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 3 = 8 + 9 = 17 \equiv 5 \pmod{12} $$ Vérification : $5 \bmod 3 = 2$ ✓ et $5 \bmod 4 = 1$ ✓.

Foire aux questions

Pourquoi les modules doivent-ils être premiers entre eux ? Si deux modules partagent un facteur, le système peut n'avoir aucune solution, ou en avoir plusieurs modulo leur PPCM : la formule classique du théorème des restes chinois ne s'applique alors plus.

Que signifie « plus petite solution positive » ? Toutes les solutions diffèrent d'un multiple de $M$ ; le calculateur affiche celle comprise entre $0$ et $M-1$.

Puis-je utiliser des restes négatifs ? Oui. Ils sont ramenés modulo chaque $m_i$ dans l'intervalle $0$ à $m_i-1$ avant la résolution.

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