Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula y representa la función de onda del oscilador armónico cuántico (OAC) unidimensional, \(\psi_n(x)\), para el número cuántico \(n\) que elijas a lo largo de un intervalo de posiciones \(x\). El OAC es uno de los modelos exactamente solubles más importantes de la mecánica cuántica: describe las vibraciones moleculares, los fonones en sólidos y los modos del campo electromagnético. Las funciones de onda son los estados propios del hamiltoniano, con energías \(E_n = \hbar\omega(n + \tfrac{1}{2})\).
Convención de unidades
Para que el resultado sea puramente numérico, las posiciones se miden en unidades adimensionales de longitud del oscilador, lo que equivale a fijar el parámetro \(\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1\). Con esta elección no hace falta indicar valores de masa, frecuencia angular ni \(\hbar\): solo tienes que dar \(n\) y los parámetros de muestreo de \(x\). Las energías salen en unidades de \(\hbar\omega\), de modo que \(E_n\) vale simplemente \(n + \tfrac{1}{2}\).
La fórmula
La función propia normalizada es
$$\psi_n(x) = N_n\, H_n(x)\, e^{-x^{2}/2}$$donde la constante de normalización
$$N_n = \sqrt{\frac{1}{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}$$y \(H_n\) es el polinomio de Hermite de los físicos. Los polinomios de Hermite se construyen mediante la recurrencia estable \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\) y \(H_{k+1} = 2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). La normalización se calcula en el dominio logarítmico para evitar el desbordamiento numérico cuando \(n\) es grande.
Cómo usarla
Introduce el número cuántico \(n\) (0, 1, 2, ...), la posición inicial \(x\), el tamaño del paso y la cantidad de puntos que quieres muestrear. La calculadora evalúa \(x_i = \text{startX} + i\cdot\text{stepX}\) para cada \(i\) y devuelve \(\psi\) en cada punto, junto con una gráfica de \(\psi(x)\) frente a \(x\). Los valores por defecto (inicio -4, paso 0,1, 81 puntos) recorren \(x\) de -4 a +4.
Ejemplo resuelto
Para \(n = 1\) en \(x = 1{,}0\): \(N_1 = \sqrt{1/(2\sqrt{\pi})} = 0{,}5311259\), \(H_1(1) = 2{,}0\) y \(e^{-0{,}5} = 0{,}6065307\). Por tanto,
$$\psi_1(1{,}0) = 0{,}5311259 \times 2{,}0 \times 0{,}6065307 = 0{,}6442715$$El estado \(n = 1\) tiene un nodo en \(x = 0\), donde \(\psi_1(0) = 0\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué psi se vuelve negativa? Aquí las funciones de onda son reales y cambian de signo al oscilar; la magnitud físicamente observable es la densidad de probabilidad \(|\psi|^2\), que nunca es negativa.
¿Cuántos nodos tiene psi_n? Exactamente \(n\) nodos (cruces por cero) dentro del pozo, un rasgo característico del \(n\)-ésimo estado excitado.
¿Está psi normalizada? Sí, en \(x\) continua la integral de \(\psi_n^2\, dx\) vale 1. Una malla muestreada finita solo aproxima esa integral.
