이 계산기의 기능

이 도구는 선택한 양자수 $n$에 대해 1차원 양자 조화 진동자(QHO) 파동함수 $\psi_n(x)$를 여러 위치 $x$ 범위에 걸쳐 계산하고 그래프로 그려 줍니다. 양자 조화 진동자는 양자역학에서 정확히 풀리는 가장 중요한 모형 중 하나로, 분자의 진동, 고체 속 포논(phonon), 전자기장의 모드 등을 기술합니다. 이 파동함수들은 해밀토니안의 고유상태이며, 에너지는 $E_n = \hbar\omega(n + \tfrac{1}{2})$로 주어집니다.

균일한 간격의 수평 에너지 준위를 가진 포물선형 퍼텐셜 우물 — 등간격으로 양자화된 에너지 준위를 가진 조화 진동자 퍼텐셜.

단위 규약

결과를 순수한 수치로 유지하기 위해, 위치는 무차원 진동자 길이 단위로 측정합니다. 이는 매개변수 $\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar} = 1$로 두는 것과 같습니다. 이렇게 하면 질량, 각진동수, $\hbar$ 값이 전혀 필요 없으며, $n$과 $x$ 샘플링 매개변수만 입력하면 됩니다. 에너지는 $\hbar\omega$ 단위로 나오므로 $E_n$은 단순히 $n + \tfrac{1}{2}$가 됩니다.

공식

규격화된 고유함수는 다음과 같습니다.

$$\psi_n(x) = N_n \cdot H_n(x) \cdot \exp(-x^2/2)$$

여기서 규격화 상수는 $N_n = \sqrt{1 / (2^{n} \cdot n! \cdot \sqrt{\pi})}$이고, $H_n$은 물리학자 관례의 에르미트 다항식입니다. 에르미트 다항식은 안정적인 점화식 $H_0 = 1$, $H_1 = 2x$, $H_{k+1} = 2x \cdot H_k - 2k \cdot H_{k-1}$로 구성됩니다. $n$이 클 때 오버플로를 피하기 위해 규격화는 로그 영역에서 계산합니다.

n=0, n=1, n=2에 대한 세 개의 적층된 조화 진동자 파동 함수 곡선 — 가장 낮은 몇 개의 양자수에 대한 파동 함수 psi_n(x), 마디 수가 증가하는 모습을 보여줌.

사용 방법

양자수 $n$(0, 1, 2, ...), 시작 위치 $x$, 간격(스텝 크기), 샘플링할 점의 개수를 입력하세요. 계산기는 각 $i$에 대해 $x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$를 계산하여 각 점에서의 $\psi$ 값과 함께 $\psi(x)$ 대 $x$ 그래프를 반환합니다. 기본값(시작 $-4$, 간격 $0.1$, 점 81개)은 $x$를 $-4$부터 $+4$까지 훑습니다.

예제 풀이

$n = 1$, $x = 1.0$인 경우: $N_1 = \sqrt{1/(2 \cdot \sqrt{\pi})} = 0.5311259$, $H_1(1) = 2.0$, $\exp(-0.5) = 0.6065307$입니다. 따라서 다음과 같이 됩니다.

$$\psi_1(1.0) = 0.5311259 \times 2.0 \times 0.6065307 = 0.6442715$$

$n = 1$ 상태는 $x = 0$에서 마디(node)를 가지며, 이때 $\psi_1(0) = 0$입니다.

자주 묻는 질문

$\psi$가 왜 음수가 되나요? 여기서 파동함수는 실수이며 부호가 진동합니다. 물리적으로 관측 가능한 확률밀도는 $|\psi|^2$이며, 이는 항상 0 이상입니다.

$\psi_n$은 마디가 몇 개인가요? 우물 안에서 정확히 $n$개의 마디(영점 교차)를 가집니다. 이는 $n$번째 들뜬 상태의 특징입니다.

$\psi$는 규격화되어 있나요? 네, 연속적인 $x$에 대해 $\psi_n^2$을 적분하면 1이 됩니다. 유한한 샘플링 격자는 이 적분을 근사할 뿐입니다.

양자수 n	1
규격화 상수 Nₙ	0.531126
첫 번째 x 점에서의 ψ	-0.001425
범위 내 최대 ψ	0.644288
ψ가 최대일 때의 x	1

양자 조화 진동자 파동함수 계산기

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