양자수 계산기란?

이 계산기는 주양자수 n을 입력하면 해당 전자 껍질에서 허용되는 양자수와 수용 가능한 전자 수를 즉시 계산해 줍니다. 양자수는 원자 속 전자의 고유한 '주소'를 나타냅니다. 즉, 에너지 준위($n$), 부껍질의 모양($l$), 오비탈의 방향($m_\ell$), 그리고 스핀을 결정합니다. $n$이 주어지면 양자역학의 규칙에 따라 허용되는 $l$과 $m_\ell$ 값은 물론, 그 껍질이 담을 수 있는 부껍질·오비탈·전자의 수까지 모두 정해집니다.

사용 방법

주양자수 $n$을 정수로 입력하세요(첫 번째 껍질은 1, 두 번째 껍질은 2, 이런 식입니다). 그러면 계산기가 최대 전자 수($2\text{n}^{2}$), 방위양자수 $l$의 범위($0$부터 $\text{n}-1$까지), 부껍질의 개수($\text{n}$), 오비탈의 개수($\text{n}^{2}$), 그리고 각 부껍질의 자기양자수 범위($-l$부터 $+l$까지)를 알려줍니다.

공식 자세히 보기

주어진 껍질 $n$에 대해 방위양자수 $l$은 $0$부터 $n-1$까지의 정수를 가질 수 있으며, 따라서 정확히 $n$개의 부껍질(s, p, d, f...)이 생깁니다. 각 $l$에 대해 자기양자수 $m_\ell$은 $-l$부터 $+l$까지 총 $2l+1$개의 정수 값을 갖습니다. $l$을 $0$부터 $n-1$까지 더하면(즉 $2l+1$의 합) 오비탈은 $n^{2}$개가 됩니다. 오비탈 하나마다 스핀이 $\pm\tfrac{1}{2}$인 전자 2개가 들어가므로, 최대 전자 수는 $2\text{n}^{2}$이 됩니다.

$$\begin{gathered} \text{Orbitals} = \text{n}^{2}, \quad \text{Max Electrons} = 2\,\text{n}^{2} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \text{Subshells} &= \text{n} \\ \ell_{\max} &= \text{n} - 1 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

주양자수 n이 l 값으로 갈라지고, 각 l이 다시 mₗ 오비탈 상자로 갈라지는 트리 다이어그램 — 주양자수 n이 허용되는 l과 mₗ 값, 그리고 각 부껍질의 오비탈을 어떻게 결정하는지.

예제 풀이

$n = 3$을 예로 들어 보겠습니다. 이때 $l = 0, 1, 2$(세 개의 부껍질: 3s, 3p, 3d)입니다. 오비탈 수는 $n^{2} = 9$개(s 1개, p 3개, d 5개)입니다. 최대 전자 수는 $2n^{2} = 2 \times 9 = 18$개입니다.

$$2\text{n}^{2} = 2 \times 9 = 18$$

d 부껍질의 경우 $m_\ell$ 값은 $-2$부터 $+2$까지 분포합니다.

n=1~4 껍질의 막대그래프로, 최대 전자 수 2, 8, 18, 32를 나타내는 막대 — 껍질당 최대 전자 수는 2n²을 따른다: n = 1~4에서 2, 8, 18, 32.

자주 묻는 질문

최대 전자 수가 왜 $2\text{n}^{2}$인가요? $n$ 껍질에는 $n^{2}$개의 오비탈이 있고, 각 오비탈에는 스핀이 반대인 전자 2개가 들어가므로 $2 \times n^{2} = 2n^{2}$이 됩니다.

$l = 0, 1, 2, 3$은 각각 무엇을 뜻하나요? 순서대로 s, p, d, f 부껍질을 가리킵니다.

하나의 부껍질에는 $m_\ell$ 값이 몇 개 있나요? 정확히 $2l+1$개이며, $-l$부터 $+l$까지 정수 단위로 나타납니다.

주양자수 (n)	3
방위양자수 범위 (l)	0 to 2
부껍질 개수	3
오비탈 개수 (n²)	9
자기양자수 범위 (mₗ)	−2 to +2 per subshell

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