समीकरण निकाय कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a₁ (x का गुणांक)

b₁ (y का गुणांक)

c₁ (अचर)

a₂ (x का गुणांक)

b₂ (y का गुणांक)

c₂ (अचर)

इस जोड़ी को हल करता है: a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂।

परिणाम

हल

x = 1
y = 2

अद्वितीय हल

x	1
y	2
सारणिक (D = a₁b₂ − a₂b₁)	-5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल दो अज्ञात राशियों वाले दो रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करता है, जिन्हें \(a_1x + b_1y = c_1\) और \(a_2x + b_2y = c_2\) के रूप में लिखा जाता है। छहों गुणांक और अचर मान भरें, और यह x तथा y के मान निकाल देगा, या बता देगा कि कब निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं है।

दो-चर वाले निकाय का हल वह बिंदु है जहाँ दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले समीकरण के लिए गुणांक \(a_1\), \(b_1\) और अचर \(c_1\) भरें, फिर दूसरे समीकरण के लिए \(a_2\), \(b_2\) और \(c_2\) भरें। "गणना करें" दबाएं। यदि दोनों रेखाएं किसी एक बिंदु पर मिलती हैं, तो आपको x और y के सटीक मान मिलेंगे। यदि रेखाएं समानांतर हैं (कोई हल नहीं) या एक-दूसरे पर पूरी तरह जमी हुई हैं (अनंत हल), तो कैलकुलेटर बताएगा कि सारणिक शून्य है और कोई एक उत्तर मौजूद नहीं है।

सूत्र की व्याख्या

यहां क्रैमर का नियम (Cramer's rule) इस्तेमाल होता है। सबसे पहले सारणिक \(D = a_1b_2 - a_2b_1\) निकाला जाता है। जब \(D \ne 0\) हो, तो निकाय का ठीक एक हल होता है:

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$$

जब \(D = 0\) हो, तो दोनों समीकरण समानांतर या एक ही रेखा को दर्शाते हैं, इसलिए कोई अद्वितीय \((x, y)\) मौजूद नहीं होता।

हल किया हुआ उदाहरण

\(2x + 3y = 8\) और \(x - y = -1\) को हल करें। यहां \(a_1=2,\ b_1=3,\ c_1=8,\ a_2=1,\ b_2=-1,\ c_2=-1\) हैं। सारणिक

$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$

फिर

$$x = \frac{8 \cdot -1 - (-1) \cdot 3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$$$y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

तो \(x = 1\) और \(y = 2\)।

तीन स्थितियाँ: एक अद्वितीय हल, कोई हल नहीं (समानांतर), या अनंत हल (समान रेखाएँ)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

सारणिक शून्य होने का क्या मतलब है? इसका मतलब है कि दोनों रेखाएं समानांतर हैं (कोई हल नहीं) या वही एक रेखा हैं (अनंत हल)। दोनों ही स्थितियों में कोई एक \((x, y)\) जोड़ी मौजूद नहीं होती।

क्या यह दशमलव या ऋणात्मक मान संभाल सकता है? हां, हर गुणांक दशमलव और ऋणात्मक मान स्वीकार करता है।

क्या यह क्रैमर का नियम ही है? हां — यह क्रैमर नियम के \(2\times 2\) सारणिक रूप का उपयोग करता है, जो दो-चर रैखिक निकायों के लिए बिल्कुल सटीक है।