Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice 2×2 ?
Le déterminant d'une matrice 2×2 est un nombre unique qui résume des propriétés essentielles de la matrice : par exemple, savoir si elle est inversible et comment elle modifie les aires sous la transformation linéaire qu'elle représente. Pour une matrice dont les coefficients sont disposés en a (en haut à gauche), b (en haut à droite), c (en bas à gauche) et d (en bas à droite), le déterminant s'obtient grâce à la formule toute simple \(\det = \text{a}\cdot\text{d} - \text{b}\cdot\text{c}\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les quatre nombres de votre matrice dans les cases notées a, b, c et d, en respectant leur position dans la grille. Le calculateur multiplie la diagonale principale (\(\text{a} \times \text{d}\)), multiplie l'anti-diagonale (\(\text{b} \times \text{c}\)), puis soustrait le second produit au premier. Le résultat, accompagné des deux produits intermédiaires, s'affiche immédiatement.
La formule expliquée
En toutes lettres, la règle est $$\det = \text{a}\cdot\text{d} - \text{b}\cdot\text{c}$$ Le terme \(\text{a}\text{d}\) correspond au produit des coefficients de la diagonale principale (du coin supérieur gauche au coin inférieur droit). Le terme \(\text{b}\text{c}\) correspond au produit des coefficients de l'anti-diagonale (du coin supérieur droit au coin inférieur gauche). La soustraction donne le déterminant. Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière (non inversible) ; une valeur non nulle indique qu'il existe une matrice inverse.
Exemple résolu
Prenons la matrice avec \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = 3\), \(d = 8\). On a alors $$\text{a}\text{d} = 4 \times 8 = 32$$ et $$\text{b}\text{c} = 6 \times 3 = 18$$ Le déterminant vaut $$32 - 18 = 14$$ Comme il est non nul, cette matrice est inversible.
Foire aux questions
Que signifie un déterminant égal à 0 ? La matrice est singulière et n'admet pas d'inverse ; ses lignes (ou ses colonnes) sont linéairement dépendantes.
Le déterminant peut-il être négatif ? Oui. Un déterminant négatif indique que la transformation inverse l'orientation, tandis que sa valeur absolue représente toujours le facteur de mise à l'échelle des aires.
Le calculateur accepte-t-il les nombres décimaux et négatifs ? Oui. Chaque champ accepte n'importe quel nombre réel, y compris les valeurs négatives et décimales.
