À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout un système de trois équations linéaires à trois inconnues (x, y, z) à l'aide de la règle de Cramer. Il vous suffit de saisir les coefficients de chaque équation sous la forme standard :
\(a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1\)
\(a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2\)
\(a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3\)
Le calculateur évalue le déterminant de la matrice des coefficients ainsi que trois déterminants modifiés, puis affiche les valeurs exactes de x, y et z.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre nombres de chaque ligne : les trois coefficients (a, b, c) et la constante du membre de droite (d). Les nombres négatifs et les décimaux sont acceptés. Le panneau de résultats affiche la solution accompagnée de \(\det(A)\), \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) et \(\det(A_z)\), afin que vous puissiez vérifier vous-même les calculs.
La formule expliquée
La règle de Cramer indique que, pour un système A·v = d dont le déterminant est non nul, chaque inconnue s'obtient en remplaçant la colonne correspondante de A par le vecteur des constantes d, en calculant ce déterminant, puis en le divisant par det(A). On a donc \(x = \det(A_x)/\det(A)\), et de même pour y et z. Si \(\det(A) = 0\), le système n'admet pas de solution unique et la règle ne peut pas s'appliquer.
$$\begin{gathered} x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_z &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple résolu
Résolvons : \(2x + y - z = 8\) ; \(-3x - y + 2z = -11\) ; \(-2x + y + 2z = -3\).
\(\det(A) = -1\), \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = 3\), \(\det(A_z) = -1\). On obtient donc \(x = (-2)/(-1) = 2\), \(y = 3/(-1) = -3\)… en réalité, le calcul exact donne \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Vérification en remplaçant : \(2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8\) ✓.
FAQ
Que se passe-t-il si det(A) est nul ? Le système n'a soit aucune solution, soit une infinité de solutions ; la règle de Cramer exige un déterminant non nul, c'est pourquoi le calculateur signale ce cas.
Puis-je utiliser des décimaux ou des fractions ? Saisissez directement les décimaux. Pour les fractions, convertissez-les d'abord en décimaux (par exemple \(1/2 = 0{,}5\)).
La règle de Cramer est-elle efficace ? Pour les systèmes 3x3, elle est rapide et exacte. Pour des systèmes bien plus grands, on privilégie généralement l'élimination de Gauss.
