이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 미지수 3개(x, y, z)로 이루어진 연립일차방정식을 크라메르 공식(Cramer's Rule)으로 풀어 줍니다. 다음과 같은 표준형으로 각 방정식의 계수를 입력하면 됩니다.
$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1$$
$$a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2$$
$$a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$
계산기는 계수행렬의 행렬식과 세 개의 변형된 행렬식을 구한 뒤, x, y, z의 정확한 값을 돌려줍니다.
사용 방법
각 행에 숫자 네 개를 입력하세요. 세 개의 계수(\(a\), \(b\), \(c\))와 우변의 상수항(\(d\))입니다. 음수와 소수도 입력할 수 있습니다. 결과 패널에는 해와 함께 \(\det(A)\), \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\), \(\det(A_z)\)가 표시되므로 풀이 과정을 직접 확인해 볼 수 있습니다.
공식 풀이
크라메르 공식에 따르면, 행렬식이 0이 아닌 연립방정식 \(A \cdot v = d\)에서 각 미지수는 다음과 같이 구합니다. 즉, 계수행렬 \(A\)의 해당 열을 상수 벡터 \(d\)로 바꾼 뒤 그 행렬식을 구하고, 이를 \(\det(A)\)로 나눕니다.
$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_z &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$따라서 \(x = \det(A_x)/\det(A)\)이며, \(y\)와 \(z\)도 같은 방식으로 계산합니다. 만약 \(\det(A) = 0\)이면 유일한 해가 존재하지 않으므로 크라메르 공식을 적용할 수 없습니다.
예제 풀이
다음을 풀어 봅시다: \(2x + y - z = 8\); \(-3x - y + 2z = -11\); \(-2x + y + 2z = -3\).
\(\det(A) = -1\), \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = 3\), \(\det(A_z) = -1\) 입니다. 따라서 $$x = \frac{-2}{-1} = 2, \quad y = \frac{3}{-1} = -3$$ … 정확히 계산하면 \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\) 입니다. 다시 대입해 확인해 보면: $$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8 \checkmark$$
자주 묻는 질문
\(\det(A)\)가 0이면 어떻게 되나요? 이 경우 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많은 해를 가집니다. 크라메르 공식은 0이 아닌 행렬식을 전제로 하므로, 계산기는 이 상황을 별도로 알려 줍니다.
소수나 분수를 입력할 수 있나요? 소수는 그대로 입력하면 됩니다. 분수는 먼저 소수로 바꿔서 입력하세요(예: \(1/2 = 0.5\)).
크라메르 공식은 효율적인가요? 3×3 정도의 연립방정식에서는 빠르고 정확합니다. 다만 훨씬 큰 연립방정식에서는 보통 가우스 소거법이 더 선호됩니다.
