Máy Tính Hệ 3 Phương Trình Bậc Nhất 3 Ẩn

Nhập phép tính

a₁ (x)

b₁ (y)

c₁ (z)

d₁ (=)

a₂ (x)

b₂ (y)

c₂ (z)

d₂ (=)

a₃ (x)

b₃ (y)

c₃ (z)

d₃ (=)

Kết quả

Nghiệm

x = 2
y = 3
z = -1

theo quy tắc Cramer

Định thức	Giá trị
det(A)	-1
det(Aₓ)	-2
det(A_y)	-3
det(A_z)	1

Công Cụ Này Làm Được Gì

Công cụ này giải một hệ gồm ba phương trình bậc nhất với ba ẩn (x, y, z) bằng quy tắc Cramer. Bạn chỉ cần nhập các hệ số của từng phương trình theo dạng chuẩn:

\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)

Máy tính sẽ tính định thức của ma trận hệ số cùng ba định thức biến đổi, rồi trả về giá trị chính xác của x, y và z.

Cách Sử Dụng

Hãy nhập bốn số ở mỗi hàng: ba hệ số (a, b, c) và hằng số ở vế phải (d). Bạn có thể nhập số âm và số thập phân. Bảng kết quả hiển thị nghiệm cùng với \(\det(A)\), \(\det(A_x)\), \(\det(A_y)\) và \(\det(A_z)\) để bạn tự kiểm tra lại bài làm của mình.

Giải Thích Công Thức

Quy tắc Cramer phát biểu rằng với hệ \(A \cdot v = d\) có định thức khác 0, mỗi ẩn được tìm bằng cách thay cột tương ứng của A bằng vectơ hằng số d, tính định thức đó rồi chia cho \(\det(A)\). Như vậy \(x = \det(A_x)/\det(A)\), và tương tự cho y và z. Nếu \(\det(A) = 0\) thì hệ không có nghiệm duy nhất và không thể áp dụng quy tắc này.

$$\begin{gathered} x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_z &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Quảng cáo

Cramer's Rule replaces one column of A with the constants vector b to form A1, A2, and A3.

Ví Dụ Minh Họa

Giải hệ: \(2x + y - z = 8\); \(-3x - y + 2z = -11\); \(-2x + y + 2z = -3\).

\(\det(A) = -1\), \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = 3\), \(\det(A_z) = -1\). Do đó tính chính xác ta được \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Thay ngược lại để kiểm tra: $$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8 \checkmark.$$

Each equation is a plane; their single common intersection point is the solution (x, y, z).

Câu Hỏi Thường Gặp

Nếu \(\det(A)\) bằng 0 thì sao? Khi đó hệ hoặc vô nghiệm, hoặc có vô số nghiệm; quy tắc Cramer đòi hỏi định thức phải khác 0, nên máy tính sẽ báo trường hợp này.

Tôi có dùng được số thập phân hay phân số không? Bạn nhập trực tiếp số thập phân. Với phân số, hãy đổi sang dạng thập phân trước (ví dụ \(1/2 = 0{,}5\)).

Quy tắc Cramer có hiệu quả không? Với hệ 3x3, nó nhanh và cho kết quả chính xác. Với những hệ lớn hơn nhiều, người ta thường ưu tiên phương pháp khử Gauss.