Máy tính định thức ma trận 3x3 là gì?
Công cụ này tính định thức của ma trận A cỡ 3x3 dựa trên chín số thực bạn nhập vào, đồng thời cho biết giá trị nghịch đảo của định thức (\(1/\det A\)). Định thức là một con số duy nhất giúp bạn biết ma trận có khả nghịch hay không: định thức khác 0 nghĩa là ma trận có ma trận nghịch đảo, còn định thức bằng 0 cho thấy ma trận suy biến (không khả nghịch).
Cách sử dụng
Hãy nhập từng giá trị trong số chín ô của bảng được gán nhãn, trong đó a-hàng-cột biểu thị phần tử nằm ở hàng và cột tương ứng. Mỗi ô đều chấp nhận số thực bất kỳ (dương, âm hoặc số thập phân). Nhấn nút tính toán để xem \(\det A\) là kết quả chính và \(1/\det A\) hiển thị ngay bên dưới. Nếu định thức bằng 0, giá trị nghịch đảo sẽ được báo là không xác định.
Giải thích công thức
Sử dụng khai triển phần phụ đại số (khai triển Laplace) theo hàng đầu tiên:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}).$$
Cách này tương đương với quy tắc Sarrus: cộng ba tích đường chéo theo chiều từ trái sang phải rồi trừ đi ba tích đường chéo theo chiều từ phải sang trái. Kết quả chính là hệ số co giãn thể tích có dấu của phép biến đổi tuyến tính mà ma trận A biểu diễn; giá trị âm cho biết phép biến đổi làm đảo ngược chiều (định hướng).
Ví dụ minh họa
Với \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\): $$\det A = 1(5 \cdot 10 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 10 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3.$$ Giá trị nghịch đảo là \(1/(-3) = -0{,}3333\ldots\) Vì \(\det A\) khác 0 nên ma trận này khả nghịch.
Các ví dụ thực hành thêm
Mỗi ví dụ sử dụng khai triển theo phần tử phụ dọc theo hàng đầu tiên:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$Ví dụ 1 — Ma trận suy biến (det = 0)
Ở đây hàng thứ ba chính xác là tổng của hai hàng đầu tiên, vì vậy ma trận là suy biến.
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$Khai triển dọc theo hàng đầu tiên:
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
Cộng tổng: \(3 - 12 + 9 = \) 0. Bởi vì \(\det A = 0\), ma trận là suy biến và nghịch đảo \(1/\det A\) là không xác định (không tồn tại ma trận nghịch đảo).
Ví dụ 2 — Các phần tử âm và thập phân
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$Khai triển dọc theo hàng đầu tiên:
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
Cộng tổng: \(-20 + 6 - 3 = \) -17. Nghịch đảo là \(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\).
Ví dụ 3 — Ma trận tam giác trên (det = tích của đường chéo)
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$Khai triển dọc theo hàng đầu tiên (lưu ý các số không ở phía dưới bên trái làm cho các phần tử phụ ngoài đường chéo biến mất):
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
Cộng tổng: \(24 + 0 + 0 = \) 24, bằng tích của các phần tử đường chéo \(3\cdot 4\cdot 2 = 24\). Đối với bất kỳ ma trận tam giác nào, định thức là tích đơn giản của đường chéo.
Các thuật ngữ chính được giải thích
- Định thức (\(\det A\) hoặc \(|A|\))
- Một vô hướng duy nhất được tính toán từ một ma trận vuông mã hóa xem ma trận có khả nghịch hay không và cách nó mở rộng thể tích. Đối với ma trận 3×3, nó được tìm bằng khai triển theo phần tử phụ.
- Phần bù (\(M_{ij}\))
- Định thức của ma trận nhỏ hơn còn lại sau khi xóa hàng \(i\) và cột \(j\). Đối với ma trận 3×3, mỗi phần bù là một định thức 2×2.
- Phần tử phụ (\(C_{ij}\))
- Một phần bù có dấu: \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). Mẫu dấu hình bàn cờ là \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\).
- Khai triển Laplace / theo phần tử phụ
- Một phương pháp tính định thức là tổng của mỗi phần tử trong hàng hoặc cột được chọn nhân với phần tử phụ của nó: \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\). Chọn hàng hoặc cột có số không sẽ giảm công việc.
- Quy tắc Sarrus
- Một lối tắt dành cho ma trận 3×3 duy nhất: cộng ba tích đường chéo từ trái sang phải và trừ ba tích đường chéo từ phải sang trái. Nó cho kết quả giống như khai triển theo phần tử phụ.
- Ma trận suy biến
- Ma trận có \(\det A = 0\); nó không có ma trận nghịch đảo vì các hàng (và cột) phụ thuộc tuyến tính.
- Ma trận khả nghịch (không suy biến)
- Ma trận có \(\det A \neq 0\); nó có ma trận nghịch đảo duy nhất \(A^{-1}\).
- Ma trận liên hợp (adjoint)
- Chuyển vị của ma trận phần tử phụ. Nó xuất hiện trong công thức nghịch đảo \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\).
- Phụ thuộc tuyến tính
- Khi một hàng (hoặc cột) có thể được viết dưới dạng tổ hợp của các hàng (hoặc cột) khác. Phụ thuộc tuyến tính buộc \(\det A = 0\) và có nghĩa là ma trận ánh xạ không gian 3D lên một tập hợp có số chiều thấp hơn.
Câu hỏi thường gặp
Định thức bằng 0 có ý nghĩa gì? Ma trận đó suy biến và không có ma trận nghịch đảo; các hàng hoặc các cột của nó phụ thuộc tuyến tính với nhau.
Định thức có thể là số âm không? Có. Định thức âm chỉ đơn giản cho biết phép biến đổi tương ứng làm đảo chiều định hướng; giá trị tuyệt đối của nó vẫn cho ta hệ số co giãn thể tích.
Tại sao lại hiển thị \(1/\det A\)? Giá trị nghịch đảo xuất hiện như một hệ số vô hướng trong công thức tường minh của ma trận nghịch đảo (ma trận phụ hợp chia cho \(\det A\)), vì vậy đây là một thông tin tham khảo hữu ích.
