حاسبة نظام المعادلات 3×3

أدخل الحساب

a₁ (x)

b₁ (y)

c₁ (z)

d₁ (=)

a₂ (x)

b₂ (y)

c₂ (z)

d₂ (=)

a₃ (x)

b₃ (y)

c₃ (z)

d₃ (=)

نتائج

الحل

x = ٢
y = ٣
z = ؜-١

باستخدام قاعدة كرامر

المحدِّد	القيمة
det(A)	؜-١
det(Aₓ)	؜-٢
det(A_y)	؜-٣
det(A_z)	١

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تتولّى هذه الأداة حلّ نظام مكوّن من ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل (\(x\) و\(y\) و\(z\)) اعتماداً على قاعدة كرامر. كل ما عليك هو إدخال معاملات كل معادلة في الصيغة القياسية التالية:

$$\begin{aligned} a_1x + b_1y + c_1z &= d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z &= d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z &= d_3 \end{aligned}$$

تحسب الأداة محدِّد مصفوفة المعاملات إضافة إلى ثلاثة محدِّدات معدّلة، ثم تعرض القيم الدقيقة لكل من \(x\) و\(y\) و\(z\).

كيفية الاستخدام

اكتب الأرقام الأربعة في كل صف: المعاملات الثلاثة (\(a\) و\(b\) و\(c\)) والثابت الموجود في الطرف الأيمن (\(d\)). يمكنك إدخال الأرقام السالبة والكسور العشرية بلا قيود. وتعرض لوحة النتائج الحلّ مرفقاً بقيم \(\det(A)\) و\(\det(A_x)\) و\(\det(A_y)\) و\(\det(A_z)\) حتى تتمكّن من مراجعة الخطوات بنفسك والتحقق منها.

شرح القاعدة

تنصّ قاعدة كرامر على أنه في أي نظام بالصيغة \(A \cdot v = d\) يكون محدِّده مختلفاً عن الصفر، يُحسب كل مجهول باستبدال العمود المقابل له في المصفوفة \(A\) بمتجه الثوابت \(d\)، ثم أخذ محدِّد المصفوفة الناتجة وقسمته على \(\det(A)\). وبذلك تكون \(x = \det(A_x)/\det(A)\)، وعلى المنوال نفسه نجد \(y\) و\(z\). أما إذا كان \(\det(A) = 0\) فلا يملك النظام حلاً وحيداً، ويتعذّر تطبيق القاعدة في هذه الحالة.

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_x &= \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_y &= \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix} \\[0.4em] D_z &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \right.$$

اعلان

Cramer's Rule replaces one column of A with the constants vector b to form A1, A2, and A3.

مثال محلول

لنحلّ: \(2x + y - z = 8\) ؛ \(-3x - y + 2z = -11\) ؛ \(-2x + y + 2z = -3\).

\(\det(A) = -1\)، \(\det(A_x) = -2\)، \(\det(A_y) = 3\)، \(\det(A_z) = -1\). وعليه تكون النتائج: \(x = 2\)، \(y = 3\)، \(z = -1\). وللتأكد نعوّض في المعادلة الأولى:

$$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8 \checkmark$$

Each equation is a plane; their single common intersection point is the solution (x, y, z).

الأسئلة الشائعة

ماذا لو كان \(\det(A)\) يساوي صفراً؟ عندها يكون النظام إمّا بلا حلّ وإمّا بعدد لانهائي من الحلول؛ ولأن قاعدة كرامر تشترط محدِّداً مختلفاً عن الصفر، تنبّهك الحاسبة إلى هذه الحالة.

هل يمكنني استخدام الكسور العشرية أو الاعتيادية؟ أدخِل الكسور العشرية مباشرة. أما الكسور الاعتيادية فحوّلها أولاً إلى كسور عشرية (مثلاً \(1/2 = 0.5\)).

هل قاعدة كرامر فعّالة؟ بالنسبة لأنظمة 3×3 فهي سريعة ودقيقة. أما في الأنظمة الأكبر بكثير فيُفضَّل عادةً استخدام طريقة حذف غاوس.