ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تتيح لك هذه الأداة حل نظام مكوّن من n معادلة خطية بـ n مجهولاً، يُكتب باختصار على الصيغة \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{x} = \mathbf{b}\)، حيث A مصفوفة المعاملات من الحجم n\(\times\)n، وx متجه المجاهيل، وb متجه الثوابت. تُرجع الأداة متجه الحل الوحيد x إلى جانب محدد المصفوفة A. الطريقة جبر خطي صرف وتعمل بالطريقة نفسها في أي مكان — لا تعتمد على دولة أو وحدة قياس، فكل مدخل ما هو إلا عدد حقيقي.
كيفية الاستخدام
حدّد قيمة n (عدد المعادلات والمجاهيل). أدخل مصفوفة المعاملات A بمعدّل صف في كل سطر، مع فصل الأرقام بمسافات أو فواصل، ثم أدخل متجه الثوابت b كقائمة طولها n. اختر دقة العرض ثم احسب. تُقبل الأرقام السالبة والعشرية والكسرية على هيئة عشرية. إذا كانت المصفوفة A تحتوي على عدد صفوف وأعمدة مساوٍ لـ n وكان طول b مطابقاً لذلك، فستحصل على الحل؛ وإلا فستُنبّهك الأداة إلى وجود عدم تطابق في الأبعاد.
شرح الطريقة
تستخدم الحاسبة طريقة حذف غاوس مع المحور الجزئي، وهي مكافئة رياضياً لتحليل LU على الصيغة PA = LU. تحلّ الأداة النظام عبر:
$$\begin{gathered} \mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U} \\[1.5em] \text{solve}\quad \left\{ \begin{aligned} \mathbf{L}\mathbf{y} &= \mathbf{b} \quad(\text{forward}) \\ \mathbf{U}\mathbf{x} &= \mathbf{y} \quad(\text{back substitution}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$لكل عمود تختار الأداة أكبر محور متاح من حيث القيمة المطلقة للحفاظ على استقرار الحسابات عددياً، ثم تحذف العناصر الواقعة أسفل المحور، وأخيراً تُجري التعويض الخلفي بدءاً من المجهول الأخير وصعوداً. ويُحسب المحدد من:
$$\det(\mathbf{A}) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} u_{kk}$$وإذا كان أحد المحاور صفراً فعلياً، فإن المحدد يساوي صفراً، وتكون المصفوفة شاذة، ولا يملك النظام حلاً وحيداً — وعندها تُنبّهك الأداة إلى ذلك بدلاً من القسمة على صفر.
مثال محلول
لنأخذ المعادلات: \(2x + y - z = 8\)، و\(-3x - y + 2z = -11\)، و\(-2x + y + 2z = -3\). أي أن \(\mathbf{A} = [[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]]\) وb = \([8,-11,-3]\). يؤدي الحذف إلى الحل \(x = 2\)، \(y = 3\)، \(z = -1\). وللتحقق من المعادلة الأولى:
$$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8$$صحيح.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المحدد يساوي صفراً؟ تكون المصفوفة شاذة، أي أن المعادلات متعلّقة ببعضها أو متناقضة؛ ولا يوجد حل وحيد، لذا تُبلّغك الحاسبة بأن المصفوفة شاذة.
لماذا نستخدم المحور الجزئي؟ لأن اختيار أكبر محور يتجنّب تضخيم خطأ التقريب، ما يمنح نتائج دقيقة حتى مع المصفوفات الصعبة.
هل يمكن أن يكون الحل غير صحيح (غير عدد كامل)؟ نعم. تُحسب الحلول بالفاصلة العائمة وقد تكون أعداداً عشرية؛ ويتحكّم إعداد دقة العرض في عدد الأرقام المعنوية المعروضة.
