Qu'est-ce qu'un convertisseur de bases ?
Un convertisseur de bases modifie la façon d'écrire un nombre sans en changer la valeur réelle. Les informaticiens et développeurs passent régulièrement du binaire (base 2) à l'octal (base 8), au décimal (base 10) ou à l'hexadécimal (base 16). Cet outil va toutefois plus loin : il prend en charge toutes les bases de 2 à 36, en utilisant les chiffres 0 à 9 suivis des lettres A à Z.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre à convertir, indiquez la base dans laquelle il est actuellement écrit (Base de départ), puis choisissez la base souhaitée (Base d'arrivée). Pour les bases supérieures à 10, utilisez les lettres : A = 10, B = 11, et ainsi de suite jusqu'à Z = 35. Le calculateur affiche aussi la valeur en décimal (base 10), ce qui vous permet de vérifier le calcul.
La formule expliquée
La conversion se fait en deux temps. On commence par lire le nombre saisi en décimal grâce à la notation positionnelle : chaque chiffre est multiplié par la base de départ élevée à la puissance correspondant à sa position, puis on additionne tous les produits. La valeur décimale obtenue est ensuite convertie vers la base d'arrivée par divisions successives : on divise par la base cible, on note le reste, on recommence avec le quotient, et on lit les restes dans l'ordre inverse.
$$\text{Result} = \left( \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From Base}^{\,i} \right)_{10} \longrightarrow \text{To Base}$$$$\begin{gathered} V_{10} = \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot \text{From Base}^{\,i} \\[1.5em] \text{Result} = \left( V_{10} \right)_{\text{To Base}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} d_i &= \text{digit } i \text{ of } \text{Number} \\ k &= \text{number of digits} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple concret
Convertissons le binaire 1010 en décimal. Somme positionnelle : \(1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10\). Dans l'autre sens, convertissons 255 en décimal vers l'hexadécimal : \(255 \div 16 = 15\) reste 15 (F), \(15 \div 16 = 0\) reste 15 (F), ce qui donne FF.
Bases numériques courantes et leurs ensembles de chiffres
Une base numérique (ou radix) définit le nombre de symboles de chiffres distincts disponibles et le poids de chaque position. Le tableau ci-dessous résume les bases les plus largement utilisées traitées par le convertisseur, ainsi que les symboles qu'elles utilisent et leurs domaines d'application typiques.
| Base | Nom | Ensemble de chiffres | Cas d'usage typique |
|---|---|---|---|
| 2 | Binaire | 0–1 | Représentation native dans l'électronique numérique et la mémoire d'ordinateur ; chaque bit est actif ou inactif. |
| 8 | Octal | 0–7 | Groupement compact du binaire par trois ; modes de permission des fichiers Unix/Linux (par exemple 755). |
| 10 | Décimal | 0–9 | Arithmétique courante, monnaies, mesures et comptage général. |
| 16 | Hexadécimal | 0–9, A–F | Affichage compact des octets, adresses mémoire, codes de couleur (par exemple #FF8800) et code machine. |
| 36 | Base 36 | 0–9, A–Z | Base maximale utilisant les chiffres plus l'alphabet latin ; identifiants alphanumérique courts et slug d'URL. |
Tableau de conversion décimal–binaire–octal–hexadécimal
La référence suivante montre les valeurs décimales courantes aux côtés de leurs équivalents binaires (base 2), octaux (base 8) et hexadécimaux (base 16). Les rangées inférieures incluent les puissances rondes de deux qui marquent les limites communes des octets et mots.
| Décimal | Binaire | Octal | Hexadécimal |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 32 | 100000 | 40 | 20 |
| 64 | 1000000 | 100 | 40 |
| 128 | 10000000 | 200 | 80 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
Remarquez comment 255 (la plus grande valeur d'un seul octet) est exactement huit 1 binaires et deux F hexadécimaux — chaque chiffre hexadécimal correspond neatement à quatre bits.
Termes clés expliqués
- Base / Radix
- Le nombre de symboles de chiffres uniques qu'un système de numération utilise. La base 10 (décimal) utilise dix symboles (0–9) ; la base 2 (binaire) en utilise deux (0–1). « Radix » est le synonyme formel mathématique de base.
- Notation positionnelle
- Un système dans lequel la valeur d'un chiffre dépend de sa position. Chaque position porte un poids égal à la base élevée à une puissance : en base \(b\), le chiffre à la position \(i\) (en comptant à partir de 0 à droite) contribue \(d_i \cdot b^{\,i}\).
- Chiffre
- Un seul symbole dans un nombre. Les chiffres valides sont limités par la base — la base 16 permet 0–9 et A–F, où A–F représentent les valeurs décimales 10–15.
- Chiffre le plus significatif (MSD)
- Le chiffre le plus à gauche, qui porte le plus grand poids positionnel et a donc le plus grand impact sur la valeur du nombre.
- Chiffre le moins significatif (LSD)
- Le chiffre le plus à droite, avec poids positionnel \(b^{0}=1\) ; le modifier change la valeur du plus petit montant.
- Binaire, Octal, Hexadécimal
- Systèmes numériques de base 2, 8 et 16 respectivement. Ils sont favorisés en informatique parce que leurs bases sont des puissances de deux, donc les groupes de bits se convertissent neatement : 3 bits par chiffre octal, 4 bits par chiffre hex.
- Quotient et reste
- Les deux résultats de la division entière, utilisés pour convertir du décimal à une autre base : divisez répétitivement par la base cible, en notant chaque reste comme un chiffre (le moins significatif en premier) jusqu'à ce que le quotient atteigne 0.
FAQ
Quelle est la base maximale ? 36, car l'ensemble standard des symboles (les chiffres 0 à 9 et les lettres A à Z) fournit exactement 36 caractères.
Gère-t-il les nombres négatifs ? Oui : un signe moins en tête de nombre est conservé dans le résultat.
Peut-il convertir des fractions ou des nombres à virgule ? Cette version ne traite que les nombres entiers.
