ما هو اللوغاريتم؟
يجيب اللوغاريتم عن سؤال بسيط: إلى أي قوة يجب أن نرفع الأساس b لنحصل على العدد x؟ وعند كتابته بالصيغة \(\log_b(x) = y\)، فهذا يعني أن \(b^y = x\). فمثلاً، \(\log_{10}(1000) = 3\) لأن \(10^3 = 1000\). تحسب هذه الأداة لوغاريتم أي قيمة موجبة x لأي أساس صالح b، كما تعرض لك تلقائياً اللوغاريتمات الثلاثة الأكثر شيوعاً.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل القيمة x (يجب أن تكون أكبر من 0) والأساس b (يجب أن يكون أكبر من 0 وألا يساوي 1). والنتيجة هي \(\log_b(x)\). استخدم الأساس 10 للوغاريتم العشري الشائع، أو الأساس 2 للوغاريتم الثنائي المستعمل في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات، أو القيمة 2.718281828 (عدد أويلر e) للوغاريتم الطبيعي. ويعرض الجدول أسفل النتيجة الرئيسية دائماً قيم \(\ln(x)\) و\(\log_{10}(x)\) و\(\log_2(x)\) لتسهيل الرجوع إليها بسرعة.
شرح الصيغة الرياضية
لا تستطيع معظم الحواسيب حساب سوى اللوغاريتم الطبيعي (ln) واللوغاريتم العشري (الأساس 10) بشكل مباشر، لذلك تعتمد اللوغاريتمات لأي أساس آخر على قاعدة تغيير الأساس:
$$\log_{\text{Base }b}\left(\text{Value }x\right) = \frac{\ln\left(\text{Value }x\right)}{\ln\left(\text{Base }b\right)}$$
وبما أن النسبة نفسها تبقى ثابتة عند استخدام أي أساس متّسق في البسط والمقام، يمكنك أيضاً كتابتها بالشكل \(\log_b(x) = \log_{10}(x) \div \log_{10}(b)\). وكلتا الصيغتين تعطيان النتيجة ذاتها.
مثال محلول
لنحسب \(\log_2(8)\). باستخدام قاعدة تغيير الأساس: \(\ln(8) \approx 2.079442\) و\(\ln(2) \approx 0.693147\). وبالقسمة، نجد أن $$2.079442 \div 0.693147 = 3$$ وهذا يتطابق مع التعريف لأن \(2^3 = 8\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون x موجبة؟ لوغاريتم الصفر أو العدد السالب غير مُعرَّف في مجموعة الأعداد الحقيقية، لأنه لا توجد قوة حقيقية لأساس موجب تعطي نتيجة غير موجبة.
لماذا لا يمكن أن يكون الأساس 1؟ العدد 1 مرفوعاً لأي قوة يبقى دائماً 1، لذا لا يستطيع اللوغاريتم ذو الأساس 1 التمييز بين قيم x المختلفة، ومن ثَمّ فهو غير مُعرَّف.
ما هو اللوغاريتم الطبيعي؟ هو اللوغاريتم بالنسبة إلى الأساس \(e \approx 2.71828\)، ويُكتب \(\ln(x)\). ويظهر بكثرة في حساب التفاضل والتكامل، ومسائل النمو والاضمحلال، والتمويل.
