ما هو قانون تغيير الأساس؟
معظم الآلات الحاسبة ومكتبات البرمجة لا توفّر سوى دالتين للوغاريتم: اللوغاريتم الطبيعي (ln، أساسه العدد e) واللوغاريتم العشري (log، أساسه 10). ويتيح لك قانون تغيير الأساس حساب اللوغاريتم لأي أساس مهما كان بقسمة لوغاريتمين متوفرين لديك أصلاً. وينصّ القانون على أن \(\log_b(x)\) تساوي \(\ln(x)\) مقسومة على \(\ln(b)\). وهذا بالضبط ما تقوم به هذه الحاسبة — أدخل القيمة \(x\) والأساس \(b\) لتحصل على \(\log_b(x)\).
$$\log_{\text{Base }b} \text{Value }x = \frac{\ln \text{Value }x}{\ln \text{Base }b}$$كيفية استخدام الحاسبة
اكتب العدد الذي تريد إيجاد لوغاريتمه في حقل القيمة (x)، ثم أدخل الأساس (b). على سبيل المثال، لإيجاد لوغاريتم 8 للأساس 2، اجعل \(x = 8\) و \(b = 2\). كما تعرض الأداة القيمتين الوسيطتين \(\ln(x)\) و \(\ln(b)\) حتى تتمكن من متابعة خطوات الحساب. يجب أن تكون القيمة \(x\) موجبة، وأن يكون الأساس موجباً ولا يساوي 1.
شرح القانون
يجيب اللوغاريتم عن السؤال: «إلى أي قوة يجب أن أرفع \(b\) للحصول على \(x\)؟». وينجح قانون تغيير الأساس لأن اللوغاريتمات بأسس مختلفة تتناسب فيما بينها. فعند قسمة \(\ln(x)\) على \(\ln(b)\)، يُلغى عامل القياس المرتبط بالأساس \(e\) ويبقى الأس بالنسبة للأساس \(b\). ويمكن استخدام أي أساس ثابت في كل من البسط والمقام — لكن اللوغاريتم الطبيعي هو ببساطة الخيار الأكثر ملاءمة.
مثال محلول
أوجد \(\log_2(8)\). باستخدام اللوغاريتمات الطبيعية: \(\ln(8) \approx 2.079442\) و \(\ln(2) \approx 0.693147\). وبالقسمة نحصل على:
$$\frac{2.079442}{0.693147} \approx 3$$وهذا منطقي لأن \(2^3 = 8\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكن أن يكون الأساس مساوياً 1؟ لأن اللوغاريتم للأساس 1 غير معرّف — فرفع العدد 1 لأي قوة يعطي دائماً 1، وبالتالي لا يوجد أسٌّ وحيد. كما أن القسمة على \(\ln(1) = 0\) تؤدي إلى قسمة على صفر.
هل يمكن أن تكون x سالبة أو صفراً؟ لا. فلوغاريتم الصفر أو العدد السالب غير معرّف في الأعداد الحقيقية.
هل يهم إن استخدمت ln أم log10؟ لا. ما دمت تستخدم الأساس نفسه في كل من البسط والمقام، فالنتيجة واحدة.
