밑변환 공식이란?
대부분의 계산기와 프로그래밍 라이브러리는 자연로그(ln, 밑이 e)와 상용로그(log, 밑이 10) 두 가지 로그 함수만 제공합니다. 밑변환 공식을 이용하면 이미 가지고 있는 두 로그값을 나누는 것만으로 어떤 밑이든 로그를 계산할 수 있습니다. 이 공식에 따르면 \(\log_b(x)\)는 \(\ln(x)\)를 \(\ln(b)\)로 나눈 값과 같습니다. 이 계산기가 하는 일이 바로 그것입니다. 진수 \(x\)와 밑 \(b\)를 입력하면 \(\log_b(x)\)를 돌려줍니다.
$$\log_{\text{Base }b} \text{Value }x = \frac{\ln \text{Value }x}{\ln \text{Base }b}$$계산기 사용법
로그를 구하고 싶은 수를 진수 (x) 칸에 입력한 다음, 밑 (b)을 입력하세요. 예를 들어 밑이 2인 8의 로그를 구하려면 \(x = 8\), \(b = 2\)로 설정하면 됩니다. 이 도구는 중간 계산값인 \(\ln(x)\)와 \(\ln(b)\)도 함께 보여 주므로 계산 과정을 그대로 따라갈 수 있습니다. 진수 \(x\)는 양수여야 하고, 밑 \(b\)는 양수이면서 1이 아니어야 합니다.
공식 풀이
로그는 "x를 얻으려면 b를 몇 제곱해야 하는가?"라는 질문에 답합니다. 밑변환 항등식이 성립하는 이유는 서로 다른 밑의 로그값이 비례 관계에 있기 때문입니다. \(\ln(x)\)를 \(\ln(b)\)로 나누면 밑이 e인 데서 생긴 비례 상수가 상쇄되고, 밑이 b일 때의 지수만 남게 됩니다. 분자와 분모에 같은 밑을 일관되게 쓰기만 한다면 어떤 밑을 써도 무방한데, 자연로그가 가장 편리한 선택일 뿐입니다.
예제로 보는 계산
\(\log_2(8)\)을 구해 봅시다. 자연로그를 쓰면 \(\ln(8) \approx 2.079442\), \(\ln(2) \approx 0.693147\)입니다. 이 둘을 나누면 $$\frac{2.079442}{0.693147} \approx 3$$이 됩니다. \(2^3 = 8\)이므로 결과가 타당합니다.
자주 묻는 질문
밑이 1이면 안 되는 이유는? 밑이 1인 로그는 정의되지 않기 때문입니다. 1은 몇 제곱을 해도 항상 1이므로 지수를 하나로 정할 수 없습니다. 또한 \(\ln(1) = 0\)이므로 0으로 나누는 문제도 발생합니다.
x가 음수나 0이어도 되나요? 안 됩니다. 0이나 음수의 로그는 실수 범위에서 정의되지 않습니다.
ln을 쓰든 log10을 쓰든 상관없나요? 상관없습니다. 분자와 분모에 같은 밑을 쓰기만 하면 결과는 동일합니다.
