1부터 n까지 자연수의 합이란?
자연수란 1, 2, 3, 4처럼 사물을 셀 때 쓰는 수를 말합니다. 이 수들을 차례대로 더한 값, 즉 \(1 + 2 + 3 + \ldots + n\)은 n이 커질수록 빠르게 늘어납니다. 항을 하나씩 일일이 더할 필요 없이, 단 하나의 공식만 사용하면 n이 아무리 커도 그 합을 한 번에 구할 수 있습니다.
공식
1부터 n까지 자연수의 합은 다음과 같이 구합니다.
$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$
이는 첫째 항이 1, 공차가 1, 항의 개수가 n개인 등차수열 합의 특수한 경우입니다. 유명한 일화로, 어린 시절의 카를 프리드리히 가우스가 첫 항과 마지막 항(\(1 + n\)), 둘째 항과 끝에서 둘째 항(\(2 + n - 1\))을 짝지어 묶는 방식으로 이 원리를 발견했다고 전해집니다. 각 쌍의 합은 모두 \((n + 1)\)이고, 이런 쌍이 \(n/2\)개 있습니다.
계산기 사용법
더하고 싶은 항의 개수(n), 즉 1부터 시작해 몇 개의 자연수를 더할지 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 전체 합, 항의 개수, 그리고 항들의 평균이 표시됩니다. 입력값은 양의 정수만 사용하세요.
예제 풀이
n = 100인 경우를 살펴봅시다. 공식에 대입하면 $$S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10{,}100}{2} = 5{,}050$$이 됩니다. 따라서 1부터 100까지 모든 자연수의 합은 5,050입니다. 항들의 평균은 \(\frac{100 + 1}{2} = 50.5\)입니다.
자주 묻는 질문
0도 포함되나요? 아니요. 여기서 자연수는 1부터 시작하므로, 더하는 수열은 \(1 + 2 + \ldots + n\)입니다.
왜 2로 나누나요? 양 끝에서부터 항을 짝지어 묶으면 합이 각각 \((n + 1)\)인 쌍이 \(n/2\)개 만들어집니다. 그래서 전체 합이 \(\frac{n(n + 1)}{2}\)가 됩니다.
n이 아주 큰 값이어도 되나요? 네. 반복 계산이 아니라 닫힌 형태의 공식을 사용하기 때문에, n이 아무리 커도 결과가 즉시 나옵니다.
