什么是前 N 个自然数之和？
自然数就是我们用来计数的 1、2、3、4 等数字。把它们依次相加——也就是 1 + 2 + 3 + … + n——所得到的和会随着 n 的增大而迅速变大。其实你完全不必一项一项地累加，只要套用一个固定的求和公式，无论 n 有多大，都能瞬间算出结果。
求和公式
前 \(n\) 个自然数之和可以表示为：
$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$
这其实是等差数列求和的一个特例：首项为 1，公差为 1，共有 \(n\) 项。相传少年时代的数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）就发现了这个巧妙方法——他把首项与末项配对（\(1 + n\)）、第二项与倒数第二项配对（\(2 + n-1\)），依此类推。每一对的和都等于 \((n + 1)\)，而这样的配对共有 \(n/2\) 组，于是总和便一目了然。
如何使用本计算器
输入项数 \(n\)，也就是你想从 1 开始累加的自然数个数。点击「计算」，工具会立即返回总和、项数以及这些数的平均值。请只填入正整数。
计算示例
假设 \(n = 100\)，代入公式：$$S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10{,}100}{2} = 5{,}050$$也就是说，从 1 到 100 的所有整数之和为 5,050。这些数的平均值为 \((100 + 1) / 2 = 50.5\)。
常见问题
结果包含 0 吗？ 不包含。这里的自然数从 1 开始，因此数列为 1 + 2 + … + n。
为什么要除以 2？ 因为把数列两端的项两两配对后，可以得到 \(n/2\) 组，每组的和都是 \((n + 1)\)，所以总和为 \(\frac{n(n + 1)}{2}\)。
n 很大时也能用吗？ 可以。本工具采用固定公式直接计算，而非逐项循环累加，即使 \(n\) 非常大，也能瞬间得出结果。
