İlk N Doğal Sayının Toplamı Nedir?
Doğal sayılar, saymak için kullandığımız 1, 2, 3, 4 şeklinde devam eden tam sayılardır. Bunları sırayla topladığınızda — yani 1 + 2 + 3 + ... + n — n büyüdükçe hızla artan bir sonuç elde edersiniz. Her terimi tek tek toplamak yerine, n ne kadar büyük olursa olsun sonucu anında veren tek bir kapalı formül kullanabilirsiniz.
Formül
İlk n doğal sayının toplamı şu formülle bulunur:
$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$
Bu aslında aritmetik dizi toplamının özel bir halidir; burada ilk terim 1, ortak fark 1 ve toplam terim sayısı n'dir. Anlatılana göre genç Carl Friedrich Gauss bu püf noktasını, ilk ve son terimi \((1 + n)\), ikinci ve sondan ikinci terimi \((2 + n-1)\) eşleştirerek keşfetmiştir. Her çift \((n + 1)\) sonucunu verir ve toplam \(n/2\) çift vardır.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
Terim sayısını (n) girin — yani 1'den başlayarak toplamak istediğiniz doğal sayıların adedini. Hesapla düğmesine tıkladığınızda araç size toplam değeri, terim sayısını ve bu terimlerin ortalamasını verir. Yalnızca pozitif tam sayılar kullanın.
Örnek Çözüm
Diyelim ki \(n = 100\). Formülde yerine koyalım: $$S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10.100}{2} = 5.050$$ Yani 1'den 100'e kadar olan tüm tam sayıların toplamı 5.050'dir. Terimlerin ortalaması ise \((100 + 1) / 2 = 50{,}5\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Sıfır da dahil mi? Hayır. Buradaki doğal sayılar 1'den başlar, dolayısıyla dizi 1 + 2 + ... + n şeklindedir.
Neden 2'ye bölüyoruz? Terimleri iki uçtan eşleştirdiğinizde, her biri \((n + 1)\) sonucunu veren \(n/2\) çift oluşur. Bu yüzden toplam \(n(n + 1) / 2\)'dir.
Çok büyük n değerlerinde kullanabilir miyim? Evet. Araç döngü yerine kapalı bir formül kullandığı için, n çok büyük olsa bile sonuç anında çıkar.
