什麼是前 N 個自然數的總和？
自然數就是我們用來數數的 1、2、3、4……依此類推。將它們依序相加 —— 1 + 2 + 3 + … + n —— 所得到的數值會隨著 n 的增大而急速攀升。與其一項一項慢慢加，你可以直接套用一條封閉式公式，無論 n 有多大，都能瞬間得出答案。
公式
前 \(n\) 個自然數的總和可由下列公式求得：
$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$
這其實是等差級數求和的一個特例：首項為 1、公差為 1，共有 \(n\) 項。相傳數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）年幼時就發現了這個技巧 —— 他把首項與末項配成一對 \((1 + n)\)，第二項與倒數第二項配對 \((2 + n-1)\)，依此類推，每一對的和都是 \((n + 1)\)，而這樣的配對共有 \(n/2\) 組。
如何使用這個計算器
輸入項數（\(n\)）—— 也就是你想從 1 開始累加的自然數個數。按下計算後，工具就會回傳總和、項數，以及這些項的平均值。請只輸入正整數。
實際範例
假設 \(n = 100\)，代入公式：$$S_{100} = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10{,}100}{2} = 5{,}050$$因此，從 1 到 100 所有整數的總和為 5,050，而各項的平均值則是 \(\frac{100 + 1}{2} = 50.5\)。
常見問題
這個總和包含 0 嗎？不包含。這裡的自然數從 1 開始算起，所以級數為 1 + 2 + … + n。
為什麼要除以 2？從兩端往中間配對後，會得到 \(n/2\) 組數對，每一組的和都是 \((n + 1)\)，因此總和為 \(\frac{n(n + 1)}{2}\)。
n 很大時也能用嗎？當然可以。由於它採用封閉式公式而非逐項迴圈計算，即使 \(n\) 是極大的數值，也能立即算出結果。
