線性內插計算機

輸入計算

x₁（已知點 1）

y₁（x₁ 處的數值）

x₂（已知點 2）

y₂（x₂ 處的數值）

x（要內插的目標點）

結果

內插值 y

4

在目標點 x 處

斜率 (y₂−y₁)/(x₂−x₁)	2

什麼是線性內插？

線性內插是一種用來估算「落在兩個已知資料點之間」未知數值的方法。它假設這兩點之間的關係是一條直線，因此只要在這條直線上讀取，就能得到任何中間 x 所對應的數值。無論是工程、統計、財務、化學還是電腦繪圖，只要手邊有一張數值表、卻需要查出表中沒有列出的點，線性內插都是最常用的技巧之一。

線性插值在兩個已知點之間的直線上估算未知的 y 值。

如何使用本計算機

請依序輸入第一個已知點的 \(x_1\) 與 \(y_1\)、第二個已知點的 \(x_2\) 與 \(y_2\)，以及你想估算 y 值的目標 x。計算機會同時回傳內插後的 y 值，以及連接這兩點的直線斜率。目標 x 通常會落在 \(x_1\) 與 \(x_2\) 之間，但同一條公式也能用來「外推」超出這個範圍的點。

公式詳解

公式為 $$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ 其中 \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) 就是兩點之間直線的斜率。將斜率乘上水平距離 \(\left(x - x_1\right)\)，就得到相對於 \(y_1\) 的垂直變化量，再把它加回 \(y_1\)，即可算出 x 處的數值。若 \(x_2\) 等於 \(x_1\)，這條線會變成垂直線，內插將無法定義，因此計算機會自動防止除以零的情況。

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此公式根據到第一個點的距離對已知斜率（縱向增量除以橫向增量）進行縮放。

範例演練

假設你已知在 \(x_1 = 1\) 時數值為 \(y_1 = 2\)，在 \(x_2 = 3\) 時數值為 \(y_2 = 6\)，那麼當 \(x = 2\) 時 y 是多少？斜率為 $$\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$$ 接著 $$y = 2 + (2 - 1) \times 2 = 4$$ 所以內插值為 4。

常見問題

可以外推超出這兩個點的範圍嗎？可以——輸入落在範圍之外的 x，公式依然適用，但外推的可靠度會比內插低。

如果我的資料不是線性的怎麼辦？線性內插得到的是近似值。若資料呈曲線變化，建議讓兩個點盡量靠近，或改用多項式／樣條（spline）等方法。

為什麼要顯示斜率？斜率代表兩點之間的變化率，能讓你確認趨勢的方向（上升或下降）。