रैखिक इंटरपोलेशन क्या है?
रैखिक इंटरपोलेशन (Linear Interpolation) एक ऐसी विधि है जिससे हम दो ज्ञात डेटा बिंदुओं के बीच पड़ने वाले किसी अज्ञात मान का अनुमान लगाते हैं। इसमें यह मान लिया जाता है कि दोनों बिंदुओं के बीच का संबंध एक सीधी रेखा जैसा है, इसलिए बीच के किसी भी x पर मान को सीधे उसी रेखा से पढ़ा जा सकता है। इंजीनियरिंग, सांख्यिकी, वित्त, रसायन विज्ञान और कंप्यूटर ग्राफिक्स में यह सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाली तकनीकों में से एक है — खासकर तब जब आपके पास मानों की कोई तालिका तो हो, लेकिन ज़रूरत किसी ऐसे बिंदु के लिए हो जो तालिका में सूचीबद्ध नहीं है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपना पहला ज्ञात बिंदु \(x_1\) और \(y_1\) के रूप में डालें, दूसरा ज्ञात बिंदु \(x_2\) और \(y_2\) के रूप में डालें, और वह लक्ष्य \(x\) डालें जहाँ आप \(y\) का अनुमान लगाना चाहते हैं। कैलकुलेटर आपको इंटरपोलेटेड \(y\) मान के साथ-साथ दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का ढाल (slope) भी बताता है। आमतौर पर लक्ष्य \(x\), \(x_1\) और \(x_2\) के बीच होता है, लेकिन यही सूत्र इस सीमा के बाहर के मानों का एक्सट्रापोलेशन भी कर सकता है।
सूत्र की व्याख्या
सूत्र है $$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ इसमें \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) पद दोनों बिंदुओं के बीच की रेखा का ढाल है। इस ढाल को क्षैतिज दूरी \((x - x_1)\) से गुणा करने पर \(y_1\) से होने वाला ऊर्ध्वाधर बदलाव मिलता है, और उसे वापस \(y_1\) में जोड़ने पर \(x\) पर मान निकल आता है। यदि \(x_2\) बराबर \(x_1\) हो जाए तो रेखा ऊर्ध्वाधर हो जाती है और इंटरपोलेशन अपरिभाषित हो जाता है, इसलिए कैलकुलेटर शून्य से भाग देने की स्थिति से बचाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आप जानते हैं कि \(x_1 = 1\) पर मान \(y_1 = 2\) है, और \(x_2 = 3\) पर मान \(y_2 = 6\) है। तो \(x = 2\) होने पर \(y\) कितना होगा? ढाल $$\frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$$ फिर $$y = 2 + (2 - 1) \times 2 = 4$$ इस तरह इंटरपोलेटेड मान 4 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मैं अपने दो बिंदुओं से बाहर एक्सट्रापोलेट कर सकता हूँ? हाँ — सीमा के बाहर का कोई \(x\) डालें और सूत्र फिर भी लागू होगा, लेकिन ध्यान रखें कि एक्सट्रापोलेशन, इंटरपोलेशन की तुलना में कम भरोसेमंद होता है।
अगर मेरा डेटा रैखिक नहीं है तो क्या होगा? रैखिक इंटरपोलेशन सिर्फ़ एक अनुमान देता है। घुमावदार (curved) डेटा के लिए दोनों बिंदुओं को आपस में पास-पास रखें या पॉलिनोमियल/स्प्लाइन विधियों का इस्तेमाल करें।
ढाल (slope) क्यों दिखाया जाता है? ढाल आपके दोनों बिंदुओं के बीच परिवर्तन की दर बताता है और रुझान (trend) की दिशा की पुष्टि करता है।
