रैखिक इंटरपोलेशन क्या है?
रैखिक इंटरपोलेशन (linear interpolation) दो ज्ञात डेटा बिंदुओं के बीच में पड़ने वाले किसी अज्ञात मान का अनुमान लगाने की एक विधि है, जिसमें यह माना जाता है कि उन दोनों बिंदुओं के बीच का संबंध एक सीधी रेखा के रूप में है। जब भी आपके पास मानों की कोई तालिका हो और आपको ऐसा मान चाहिए जो सूचीबद्ध प्रविष्टियों के बीच आता हो, तो यह तकनीक इंजीनियरिंग, सांख्यिकी, वित्त और विज्ञान में सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाली विधियों में से एक है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने दोनों ज्ञात बिंदुओं के निर्देशांक दर्ज करें: \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\)। इसके बाद वह x मान दर्ज करें जिसके लिए आप y निकालना चाहते हैं। कैलकुलेटर आपको इंटरपोलेट किया गया y मान और दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का ढाल (slope) दोनों दिखाता है। x का मान दोनों बिंदुओं के बाहर भी हो सकता है — ऐसी स्थिति में परिणाम रैखिक एक्सट्रापोलेशन (extrapolation) होता है।
सूत्र की व्याख्या
इंटरपोलेशन का सूत्र है
$$y = y_1 + \left(x - x_1\right) \cdot \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$यहाँ भिन्न \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) दोनों बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा का ढाल है। इसे \((x - x_1)\) से गुणा करने पर यह दर्शाता है कि x, x₁ से कितनी दूर खिसका है, और अंत में y₁ जोड़ने से परिणाम सही शुरुआती ऊँचाई पर आ जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आपको बिंदु \((1, 2)\) और \((4, 8)\) पता हैं, और आपको \(x = 3\) पर y निकालना है। ढाल होगा
$$\frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$फिर
$$y = 2 + (3 - 1) \times 2 = 2 + 4 = 6$$यानी इंटरपोलेट किया गया मान 6 है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या x दोनों बिंदुओं के बाहर हो सकता है? हाँ। यदि x, x₁ से कम या x₂ से अधिक है, तो सूत्र रैखिक रूप से एक्सट्रापोलेट करता है, जिसमें यह मान लिया जाता है कि रुझान सीधी रेखा में आगे जारी रहता है।
अगर x₁ और x₂ बराबर हों तो क्या होगा? तब दोनों बिंदुओं का x एक ही होता है, इसलिए ढाल अपरिभाषित हो जाता है (शून्य से भाग)। कैलकुलेटर इस स्थिति से बचाव करता है और y₁ लौटा देता है।
क्या यह ट्रेंडलाइन जैसा ही है? यह दो बिंदुओं से बनी एक सीधी रेखा है। रिग्रेशन ट्रेंडलाइन कई बिंदुओं का उपयोग करती है; जबकि इंटरपोलेशन ठीक उन्हीं दो बिंदुओं का उपयोग करता है जो आप देते हैं।
