न्यूनतम वर्ग रिग्रेशन लाइन क्या है?
न्यूनतम वर्ग रिग्रेशन लाइन वह सीधी रेखा है जो (x, y) के युग्मित डेटा बिंदुओं के समूह में सबसे अच्छी तरह बैठती है। "सर्वोत्तम फिट" का मतलब है कि यह रेखा प्रत्येक प्रेक्षित बिंदु और रेखा के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरियों के वर्गों के योग को न्यूनतम कर देती है। इसका परिणाम \(y = mx + b\) रूप का एक समीकरण होता है, जहाँ \(m\) ढलान (slope) है और \(b\), y-इंटरसेप्ट है। यह आँकड़ों में रैखिक रिग्रेशन की बुनियाद है, जिसका उपयोग संबंधों को मॉडल करने और भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने X मान और Y मान को अल्पविराम से अलग की गई सूची के रूप में दर्ज करें। ध्यान रखें कि दोनों सूचियों में प्रविष्टियों की संख्या समान हो और युग्मों का क्रम भी आपस में मेल खाता हो। "गणना करें" पर क्लिक करते ही आपको ढलान, इंटरसेप्ट, पूरा रिग्रेशन समीकरण, सहसंबंध गुणांक (r) और निर्धारण गुणांक (R²) मिल जाएगा। R² का मान 1 के करीब होना दर्शाता है कि रेखा अधिकांश विचरण को समझाती है; जबकि 0 के करीब होना कमजोर रैखिक फिट को दर्शाता है।
सूत्र की व्याख्या
\(n\) डेटा बिंदुओं के लिए ढलान $$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ होता है। एक बार \(m\) ज्ञात हो जाने पर इंटरसेप्ट $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ से निकलता है। यहाँ \(\sum xy\) प्रत्येक \(x\) को उसके \(y\) से गुणा करके निकाले गए योग को दर्शाता है, \(\sum x^{2}\) वर्ग किए गए \(x\) मानों का योग है, और \(\sum x\), \(\sum y\) सीधे-सीधे कुल योग हैं। हर (denominator) \(x\) मानों के फैलाव को मापता है; यदि सभी \(x\) मान एक समान हों तो यह शून्य हो जाता है और कोई रेखा फिट नहीं हो सकती।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(X = 1, 2, 3, 4, 5\) और \(Y = 2, 4, 5, 4, 5\)। तब \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 64\), \(\sum x^{2} = 55\)। ढलान $$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0.6$$ इंटरसेप्ट $$b = \frac{20 - 0.6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2.2$$ इस तरह सर्वोत्तम-फिट लाइन है $$y = 0.6x + 2.2$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
R² मुझे क्या बताता है? R² यह दर्शाता है कि Y में कुल विचरण का कितना हिस्सा रेखा द्वारा समझाया जाता है; इसका मान 0 से 1 के बीच होता है।
क्या X और Y की संख्या बराबर होनी चाहिए? हाँ — प्रत्येक \(x\) का एक \(y\) के साथ युग्म बनना ज़रूरी है। यदि दोनों की लंबाई अलग हो तो कैलकुलेटर छोटी सूची की लंबाई का उपयोग करता है।
क्या ढलान ऋणात्मक हो सकती है? बिल्कुल; ऋणात्मक ढलान का अर्थ है कि X बढ़ने पर Y घटने की प्रवृत्ति रखता है।
