최소제곱 회귀직선이란?
최소제곱 회귀직선은 짝지어진 (x, y) 데이터 점들에 가장 잘 들어맞는 직선을 말합니다. 여기서 '가장 잘 맞는다'는 것은 각 관측점과 직선 사이의 수직 거리를 제곱해 모두 더한 값이 최소가 된다는 뜻입니다. 그 결과는 \(y = mx + b\) 형태의 방정식으로 나타나며, m은 기울기, b는 y절편을 의미합니다. 이는 통계학에서 변수 간 관계를 모형화하고 예측을 수행하는 선형 회귀의 기본 원리입니다.
계산기 사용법
X 값과 Y 값을 각각 쉼표로 구분해 입력하세요. 이때 두 목록의 데이터 개수가 같아야 하고, 짝을 이루는 순서도 서로 맞아야 합니다. 계산 버튼을 누르면 기울기, 절편, 완성된 회귀방정식, 상관계수(r), 결정계수(R²)가 한꺼번에 나옵니다. R²이 1에 가까울수록 직선이 데이터의 변동을 대부분 설명한다는 뜻이고, 0에 가까울수록 선형 적합도가 낮다는 의미입니다.
공식 풀이
데이터가 \(n\)개일 때 기울기는 다음과 같이 구합니다.
$$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$기울기 \(m\)을 알아내면 절편은 다음과 같이 계산됩니다.
$$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$여기서 \(\sum xy\)는 각 x에 그에 대응하는 y를 곱한 값의 합, \(\sum x^{2}\)은 x를 제곱한 값들의 합이며, \(\sum x\)와 \(\sum y\)는 단순히 각 값을 모두 더한 합계입니다. 분모는 x 값들이 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는데, 모든 x 값이 동일하면 이 값이 0이 되어 직선을 그릴 수 없습니다.
예제로 풀어보기
X = 1, 2, 3, 4, 5, Y = 2, 4, 5, 4, 5 라고 해봅시다. 그러면 \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 64\), \(\sum x^{2} = 55\) 입니다. 기울기는
$$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0.6$$이 됩니다. 절편은
$$b = \frac{20 - 0.6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2.2$$입니다. 따라서 최적 회귀직선은 \(y = 0.6x + 2.2\) 입니다.
자주 묻는 질문
R²은 무엇을 알려주나요? R²은 회귀직선이 설명하는 Y의 분산 비율로, 0에서 1 사이의 값을 가집니다.
X와 Y의 개수가 같아야 하나요? 네, 각 x는 하나의 y와 짝을 이루어야 합니다. 두 목록의 개수가 다르면 계산기는 더 짧은 목록의 길이를 기준으로 계산합니다.
기울기가 음수일 수도 있나요? 물론입니다. 기울기가 음수라면 X가 커질수록 Y가 작아지는 경향이 있다는 뜻입니다.
