En Küçük Kareler Regresyon Doğrusu Nedir?
En küçük kareler regresyon doğrusu, eşleştirilmiş (x, y) veri noktalarına en iyi uyan doğrudur. "En iyi uyum" derken, her gözlem noktası ile doğru arasındaki dikey uzaklıkların karelerinin toplamını en aza indiren doğruyu kastediyoruz. Sonuç, \(y = mx + b\) biçiminde bir denklemdir; burada m eğimi, b ise y eksenini kestiği noktayı (kesişim) ifade eder. Bu yaklaşım, istatistikte ilişkileri modellemek ve tahmin yapmak için kullanılan doğrusal regresyonun temelini oluşturur.
Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
X değerlerinizi ve Y değerlerinizi virgülle ayrılmış listeler halinde girin; her iki listenin de aynı sayıda öğe içerdiğinden ve çiftlerin sıralamasının birbiriyle uyumlu olduğundan emin olun. Hesapla düğmesine tıkladığınızda eğimi, kesişim noktasını, tam regresyon denklemini, korelasyon katsayısını (\(r\)) ve belirleme katsayısını (\(R^{2}\)) elde edersiniz. \(R^{2}\) değeri 1'e yakınsa doğru, değişkenliğin büyük kısmını açıklıyor demektir; 0'a yakınsa doğrusal uyum zayıftır.
Formülün Açıklaması
n veri noktası için eğim şöyle hesaplanır:
$$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$Eğim bilindikten sonra kesişim
$$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$formülüyle bulunur. Burada \(\sum xy\) her x ile karşılığındaki y'nin çarpımlarının toplamı, \(\sum x^{2}\) x değerlerinin karelerinin toplamı, \(\sum x\) ve \(\sum y\) ise basit toplamlardır. Paydadaki ifade x değerlerinin yayılımını ölçer; tüm x değerleri aynıysa payda sıfır olur ve hiçbir doğru uydurulamaz.
Çözümlü Örnek
X = 1, 2, 3, 4, 5 ve Y = 2, 4, 5, 4, 5 olsun. Bu durumda \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 64\), \(\sum x^{2} = 55\) olur. Eğim
$$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0{,}6$$Kesişim
$$b = \frac{20 - 0{,}6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2$$En uygun doğru \(y = 0{,}6x + 2{,}2\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
\(R^{2}\) bana ne anlatır? \(R^{2}\), Y'deki değişkenliğin doğru tarafından açıklanan oranıdır ve 0 ile 1 arasında değer alır.
X ve Y'nin eleman sayıları eşit olmak zorunda mı? Evet — her x bir y ile eşleşmelidir. Listeler farklı uzunluktaysa hesaplama aracı daha kısa olanın uzunluğunu esas alır.
Eğim negatif olabilir mi? Kesinlikle; negatif eğim, X arttıkça Y'nin azalma eğiliminde olduğu anlamına gelir.
