¿Qué es la recta de regresión por mínimos cuadrados?
La recta de regresión por mínimos cuadrados es la línea recta que mejor se ajusta a un conjunto de pares de datos (x, y). Que sea el «mejor ajuste» significa que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre cada punto observado y la recta. El resultado es una ecuación de la forma \(y = mx + b\), donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen (el punto de corte con el eje Y). Este es el fundamento de la regresión lineal en estadística, que se usa para modelar relaciones entre variables y hacer predicciones.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tus valores de X y de Y como listas separadas por comas, asegurándote de que ambas listas tengan el mismo número de elementos y de que el orden de los pares coincida. Pulsa calcular y obtendrás la pendiente, la ordenada al origen, la ecuación completa de la regresión, el coeficiente de correlación (r) y el coeficiente de determinación (R²). Un R² cercano a 1 indica que la recta explica casi toda la variación; uno cercano a 0 señala un ajuste lineal débil.
La fórmula explicada
Para n puntos de datos, la pendiente es $$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ Una vez conocida m, la ordenada al origen es $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ Aquí \(\sum xy\) es la suma de cada x multiplicada por su y, \(\sum x^{2}\) es la suma de los valores de x al cuadrado, y \(\sum x\) y \(\sum y\) son los totales simples. El denominador mide la dispersión de los valores de x; si todos los valores de x son idénticos, vale cero y no es posible ajustar ninguna recta.
Ejemplo resuelto
Tomemos X = 1, 2, 3, 4, 5 e Y = 2, 4, 5, 4, 5. Entonces \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 64\), \(\sum x^{2} = 55\). La pendiente $$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0{,}6$$ La ordenada al origen $$b = \frac{20 - 0{,}6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2$$ La recta de mejor ajuste es \(y = 0{,}6x + 2{,}2\).
Preguntas frecuentes
¿Qué me dice el R²? El R² es la proporción de la varianza de Y que explica la recta, y varía entre 0 y 1.
¿X e Y deben tener la misma cantidad de valores? Sí: cada x debe emparejarse con una y. Si difieren, la calculadora usa la longitud de la lista más corta.
¿La pendiente puede ser negativa? Por supuesto; una pendiente negativa significa que Y tiende a disminuir a medida que X aumenta.
