Đường hồi quy bình phương tối thiểu là gì?
Đường hồi quy bình phương tối thiểu là đường thẳng khớp tốt nhất với một tập hợp các cặp điểm dữ liệu (x, y). "Khớp tốt nhất" nghĩa là đường thẳng này làm cực tiểu tổng bình phương khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa mỗi điểm quan sát và đường thẳng đó. Kết quả là một phương trình có dạng \(y = mx + b\), trong đó m là hệ số góc và b là giao điểm với trục y (tung độ gốc). Đây là nền tảng của hồi quy tuyến tính trong thống kê, được dùng để mô hình hóa mối quan hệ và đưa ra dự đoán.
Cách sử dụng máy tính này
Hãy nhập các giá trị X và giá trị Y dưới dạng danh sách phân tách bằng dấu phẩy, đảm bảo hai danh sách có cùng số phần tử và thứ tự các cặp tương ứng với nhau. Nhấn nút tính toán, bạn sẽ nhận được hệ số góc, giao điểm, phương trình hồi quy đầy đủ, hệ số tương quan (r) và hệ số xác định (R²). R² gần 1 nghĩa là đường thẳng giải thích được phần lớn sự biến thiên; gần 0 nghĩa là mức độ khớp tuyến tính yếu.
Giải thích công thức
Với n điểm dữ liệu, hệ số góc là $$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ Khi đã biết m, giao điểm được tính bằng $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ Ở đây \(\sum xy\) là tổng của tích mỗi giá trị x với giá trị y tương ứng, \(\sum x^{2}\) là tổng bình phương các giá trị x, còn \(\sum x\) và \(\sum y\) là các tổng đơn giản. Mẫu số đo độ phân tán của các giá trị x; nếu tất cả giá trị x đều giống nhau thì mẫu số bằng 0 và không thể khớp được đường thẳng nào.
Ví dụ minh họa
Lấy X = 1, 2, 3, 4, 5 và Y = 2, 4, 5, 4, 5. Khi đó \(n = 5\), \(\sum x = 15\), \(\sum y = 20\), \(\sum xy = 64\), \(\sum x^{2} = 55\). Hệ số góc $$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0{,}6$$ Giao điểm $$b = \frac{20 - 0{,}6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2{,}2$$ Vậy đường khớp tốt nhất là \(y = 0{,}6x + 2{,}2\).
Câu hỏi thường gặp
R² cho tôi biết điều gì? R² là tỷ lệ phương sai của Y được giải thích bởi đường thẳng, có giá trị từ 0 đến 1.
X và Y có cần số lượng bằng nhau không? Có — mỗi giá trị x phải ghép với một giá trị y. Nếu hai danh sách khác nhau, máy tính sẽ dùng độ dài của danh sách ngắn hơn.
Hệ số góc có thể âm không? Hoàn toàn có thể; hệ số góc âm nghĩa là Y có xu hướng giảm khi X tăng.
