最小二乗法による回帰直線とは？
最小二乗法による回帰直線とは、対になった (x, y) のデータ点に最もよく当てはまる直線のことです。「最もよく当てはまる」とは、各観測値と直線との垂直方向の距離を2乗して合計した値（残差平方和）が最小になることを意味します。求められる式は \(y = mx + b\) の形で、m が傾き、b が y 切片を表します。これは統計学における線形回帰の基礎であり、変数同士の関係をモデル化したり、将来の値を予測したりするのに使われます。
この計算ツールの使い方
X の値と Y の値を、それぞれカンマ区切りのリストとして入力します。このとき、両方のリストの個数が同じで、ペアの順番が対応していることを確認してください。「計算」をクリックすると、傾き、切片、回帰直線の式全体、相関係数（r）、決定係数（R²）が表示されます。R² が 1 に近いほど直線がデータのばらつきの大部分を説明できていることを示し、0 に近いほど線形の当てはまりが弱いことを意味します。
計算式の解説
n 個のデータ点に対して、傾きは $$m = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^{2} - \left(\sum x\right)^{2}}$$ で求められます。m が分かれば、切片は $$b = \frac{\sum y - m\sum x}{n}$$ で計算できます。ここで \(\sum xy\) は各 x とその y を掛けた値の合計、\(\sum x^{2}\) は x を2乗した値の合計、\(\sum x\)・\(\sum y\) はそれぞれ単純な合計を表します。分母は x の値のばらつきを測るもので、もしすべての x が同じ値なら分母は 0 となり、直線を当てはめることはできません。
計算例
X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5 としてみましょう。このとき \(n = 5\)、\(\sum x = 15\)、\(\sum y = 20\)、\(\sum xy = 64\)、\(\sum x^{2} = 55\) となります。傾き $$m = \frac{5\cdot 64 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 15^{2}} = \frac{320 - 300}{275 - 225} = \frac{20}{50} = 0.6$$ 切片 $$b = \frac{20 - 0.6\cdot 15}{5} = \frac{20 - 9}{5} = 2.2$$ したがって、最適な回帰直線は $$y = 0.6x + 2.2$$ となります。
よくある質問
R² は何を表しますか？ R² は、Y のばらつき（分散）のうち直線によって説明できる割合で、0 から 1 の範囲をとります。
X と Y の個数は同じである必要がありますか？ はい。各 x は必ず1つの y と対応している必要があります。個数が異なる場合、この計算ツールは短い方のリストの長さに合わせて計算します。
傾きがマイナスになることはありますか？ もちろんあります。傾きがマイナスの場合は、X が増えるにつれて Y が減少する傾向があることを意味します。
