यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल उस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करता है जो किसी दी गई रेखा पर लंब हो और किसी निश्चित बिंदु से होकर गुज़रती हो। आप मूल रेखा का ढलान (\(m\)) और उस बिंदु (\(x_1, y_1\)) के निर्देशांक डालते हैं जिससे नई रेखा को गुज़रना है। कैलकुलेटर लंब ढलान और पूरा समीकरण ढलान-अंतःखंड रूप (slope-intercept form) यानी \(y = mx + b\) में लौटाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी मूल रेखा का ढलान डालें, फिर बिंदु के \(x\) और \(y\) निर्देशांक भरें। "गणना करें" दबाएँ। यदि मूल ढलान शून्य है (यानी क्षैतिज रेखा), तो उस पर लंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा होगी, जिसे \(x = x_1\) के रूप में लिखा जाता है, क्योंकि उसका ढलान अपरिभाषित होता है।
सूत्र की व्याख्या
दो रेखाएँ तब आपस में लंब होती हैं जब उनके ढलानों का गुणनफल \(-1\) के बराबर हो। इसलिए लंब ढलान ऋणात्मक व्युत्क्रम (negative reciprocal) होता है: \(m_\perp = -1/m\)। नई रेखा को बिंदु (\(x_1, y_1\)) से होकर गुज़ारने के लिए हम बिंदु-ढलान रूप (point-slope form) इस्तेमाल करते हैं: $$y - y_1 = m_\perp\left(x - x_1\right)$$ इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर ढलान-अंतःखंड रूप \(y = m_\perp x + b\) मिलता है, जहाँ अंतःखंड \(b = y_1 - m_\perp \cdot x_1\) होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए मूल रेखा का ढलान \(m = 2\) है और नई रेखा को (1, 3) से होकर गुज़रना है। तब लंब ढलान \(m_\perp = -1/2 = -0.5\) होगा। अंतःखंड $$b = 3 - (-0.5)(1) = 3 + 0.5 = 3.5$$ निकलता है। इसलिए लंब रेखा का समीकरण होगा \(y = -0.5x + 3.5\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर मूल ढलान 0 हो तो क्या होगा? क्षैतिज रेखा (ढलान 0) पर लंब एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है, जिसे \(x = x_1\) लिखा जाता है, क्योंकि उसका ढलान अपरिभाषित होता है।
अगर मूल रेखा ऊर्ध्वाधर हो तो? ऊर्ध्वाधर रेखा का ढलान अपरिभाषित होता है; उस पर लंब क्षैतिज रेखा होती है, यानी \(y = y_1\)। यह कैलकुलेटर संख्यात्मक ढलान लेता है, इसलिए ऊर्ध्वाधर मूल रेखा को सीधे इस विशेष स्थिति के रूप में मानें।
ढलान ऋणात्मक व्युत्क्रम क्यों होता है? किसी रेखा को 90° घुमाने पर उसका "ऊँचाई-बटा-दूरी" (rise-over-run) अनुपात उलट जाता है और चिह्न बदल जाता है, जिससे दोनों ढलानों का गुणनफल \(-1\) हो जाता है।
