लंब समद्विभाजक क्या होता है?
किसी रेखाखंड का लंब समद्विभाजक वह रेखा है जो रेखाखंड को ठीक उसके मध्यबिंदु पर काटती है और उससे 90° का कोण बनाती है। इस रेखा पर स्थित हर बिंदु दोनों अंतिम बिंदुओं से बराबर दूरी पर होता है। यही गुण इसे ज्यामितीय रचनाओं, त्रिभुज के परिकेंद्र (circumcenter) निकालने और निर्देशांक आधारित प्रमेयों में बेहद उपयोगी बनाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने रेखाखंड के दोनों अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक दर्ज करें — बिंदु 1 (x₁, y₁) और बिंदु 2 (x₂, y₂)। कैलकुलेटर लंब समद्विभाजक का समीकरण, उसकी ढाल, वह मध्यबिंदु जिससे वह गुज़रती है, और y-अंतःखंड लौटाता है। यह विशेष स्थितियों को स्वतः संभाल लेता है, जैसे क्षैतिज रेखाखंड (जिसका समद्विभाजक एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है) और ऊर्ध्वाधर रेखाखंड (जिसका समद्विभाजक एक क्षैतिज रेखा होती है)।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले मध्यबिंदु निकालें: \( M = \left( \dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2} \right) \)। रेखाखंड की ढाल होती है \( \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \); लंब समद्विभाजक इसका ऋणात्मक व्युत्क्रम (negative reciprocal) उपयोग करता है, यानी \( m_\perp = -\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1} \)। मध्यबिंदु M को बिंदु-ढाल रूप में रखने पर मिलता है \( y - M_y = m_\perp(x - M_x) \), जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर \( y = m_\perp \cdot x + b \) बनता है।
$$ y = m\,(x - M_x) + M_y \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= -\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \\ M_x &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ M_y &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \end{aligned} \right. $$
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु (1, 2) और (5, 6) के लिए: मध्यबिंदु \( M = (3, 4) \)। रेखाखंड की ढाल \( = \dfrac{6-2}{5-1} = 1 \), इसलिए \( m_\perp = -1 \)। समीकरण: \( y - 4 = -1(x - 3) \), यानी \( y = -x + 7 \)। इसका y-अंतःखंड 7 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि रेखाखंड क्षैतिज हो तो क्या होगा? यदि \( y_1 = y_2 \) है, तो रेखाखंड क्षैतिज है, और उसका लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा \( x = M_x \) होगी, जिसकी ढाल अपरिभाषित होती है।
यदि दोनों बिंदु एक ही हों तो क्या होगा? किसी एकल बिंदु का कोई अद्वितीय लंब समद्विभाजक नहीं होता, इसलिए परिणाम अपरिभाषित रहता है।
ऋणात्मक व्युत्क्रम ही क्यों? परस्पर लंब रेखाओं की ढालों का गुणनफल −1 होता है, इसलिए रेखाखंड की ढाल को उलट कर और ऋणात्मक बनाकर 90° का प्रतिच्छेदन सुनिश्चित किया जाता है।
