수직이등분선이란?
선분의 수직이등분선은 선분의 정확한 중점을 지나면서 선분과 90° 각도로 만나는 직선입니다. 이 직선 위의 모든 점은 두 끝점에서 같은 거리에 있는데, 바로 이 성질 때문에 작도, 삼각형의 외심 구하기, 좌표평면을 활용한 증명 등에서 핵심적으로 쓰입니다.
계산기 사용 방법
선분의 두 끝점 좌표, 즉 점 1(\(x_1, y_1\))과 점 2(\(x_2, y_2\))를 입력하세요. 계산기는 수직이등분선의 방정식, 기울기, 지나는 중점, 그리고 y절편을 알려 줍니다. 수평 선분(이 경우 수직선이 됨)이나 수직 선분(이 경우 수평선이 됨) 같은 특수한 경우도 자동으로 처리합니다.
공식 풀어보기
먼저 중점 \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\)를 구합니다. 선분의 기울기는 \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)이며, 수직이등분선은 이 값의 음의 역수, 즉 \(m_\perp = -\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\)을 사용합니다. 중점 M을 점-기울기 형태에 대입하면 \(y - M_y = m_\perp(x - M_x)\)가 되고, 이를 정리하면 \(y = m_\perp \cdot x + b\) 형태가 됩니다.
$$y = m\,(x - M_x) + M_y$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= -\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \\ M_x &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ M_y &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \end{aligned} \right.$$
예제 풀이
두 점 \((1, 2)\)와 \((5, 6)\)을 예로 들어 봅시다. 중점 \(M = (3, 4)\)입니다. 선분의 기울기 \(= \dfrac{6-2}{5-1} = 1\)이므로, \(m_\perp = -1\)이 됩니다. 방정식은 \(y - 4 = -1(x - 3)\), 즉 \(y = -x + 7\)입니다. y절편은 7입니다.
자주 묻는 질문
선분이 수평이면 어떻게 되나요? \(y_1 = y_2\)이면 선분은 수평이므로, 수직이등분선은 기울기가 정의되지 않는 수직선 \(x = M_x\)가 됩니다.
두 점이 같으면 어떻게 되나요? 하나의 점만으로는 유일한 수직이등분선을 정할 수 없으므로 결과는 정의되지 않습니다.
왜 음의 역수를 쓰나요? 서로 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 \(-1\)입니다. 그래서 선분의 기울기를 뒤집고 부호를 바꾸면 90°로 교차하는 것이 보장됩니다.
