Что такое серединный перпендикуляр?
Серединный перпендикуляр отрезка — это прямая, которая пересекает отрезок ровно в его середине под углом 90°. Любая точка этой прямой равноудалена от обоих концов отрезка, поэтому она играет ключевую роль в геометрических построениях, при нахождении центра описанной окружности треугольника и в доказательствах на координатной плоскости.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты двух концов отрезка — точку 1 (x₁, y₁) и точку 2 (x₂, y₂). Калькулятор выдаст уравнение серединного перпендикуляра, его угловой коэффициент (наклон), координаты середины, через которую он проходит, и точку пересечения с осью Y. Программа автоматически обрабатывает особые случаи: для горизонтального отрезка строится вертикальный перпендикуляр, а для вертикального — горизонтальный.
Разбор формулы
Сначала находим середину \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). Угловой коэффициент отрезка равен \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\); для серединного перпендикуляра берётся обратное число с противоположным знаком: \(m_\perp = -\dfrac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\). Подставив M в уравнение прямой с заданным наклоном, получаем
$$y - M_y = m_\perp(x - M_x)$$что приводится к виду \(y = m_\perp \cdot x + b\).
Пример решения
Возьмём точки (1, 2) и (5, 6): середина \(M = (3, 4)\). Наклон отрезка \(= \dfrac{6-2}{5-1} = 1\), значит \(m_\perp = -1\). Уравнение:
$$y - 4 = -1(x - 3)$$то есть \(y = -x + 7\). Точка пересечения с осью Y равна 7.
Частые вопросы
Что делать, если отрезок горизонтальный? Если \(y_1 = y_2\), отрезок горизонтален, поэтому его серединный перпендикуляр — это вертикальная прямая \(x = M_x\) с неопределённым угловым коэффициентом.
Что если обе точки совпадают? У одной точки нет единственного серединного перпендикуляра, поэтому результат не определён.
Почему берётся обратное число с противоположным знаком? Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно \(-1\), поэтому, перевернув дробь и сменив знак наклона отрезка, мы гарантируем пересечение под углом 90°.
