Qu'est-ce qu'une médiatrice ?
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment en son milieu exact, en formant avec lui un angle de 90°. Tout point situé sur cette droite est équidistant des deux extrémités du segment : une propriété fondamentale en géométrie pour réaliser des constructions, déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle ou mener des démonstrations en repère.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les coordonnées des deux extrémités de votre segment — Point 1 (\(x_1\), \(y_1\)) et Point 2 (\(x_2\), \(y_2\)). Le calculateur vous renvoie l'équation de la médiatrice, sa pente (coefficient directeur), le milieu par lequel elle passe et son ordonnée à l'origine. Il gère automatiquement les cas particuliers, comme les segments horizontaux (médiatrice verticale) ou verticaux (médiatrice horizontale).
La formule expliquée
On commence par déterminer le milieu \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\). La pente du segment vaut \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) ; la médiatrice utilise l'opposé de l'inverse, soit \(m_\perp = -\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\). En injectant les coordonnées de M dans la forme point-pente, on obtient \(y - M_y = m_\perp(x - M_x)\), qui se réécrit sous la forme \(y = m_\perp \cdot x + b\).
$$ y = m\,(x - M_x) + M_y \\[1.5em] \text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= -\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} \\ M_x &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ M_y &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \end{aligned} \right. $$
Exemple détaillé
Pour les points (1, 2) et (5, 6) : le milieu est \(M = (3, 4)\). La pente du segment vaut \(\frac{6-2}{5-1} = 1\), donc \(m_\perp = -1\). L'équation est $$ y - 4 = -1(x - 3) $$ c'est-à-dire $$ y = -x + 7 $$ L'ordonnée à l'origine est donc 7.
FAQ
Que se passe-t-il si le segment est horizontal ? Si \(y_1 = y_2\), le segment est horizontal : sa médiatrice est alors la droite verticale \(x = M_x\), dont la pente n'est pas définie.
Et si les deux points sont identiques ? Un point unique ne possède pas de médiatrice définie : le résultat est donc indéterminé.
Pourquoi l'opposé de l'inverse ? Deux droites perpendiculaires ont des pentes dont le produit vaut \(-1\). En inversant la pente du segment puis en changeant son signe, on garantit une intersection à 90°.
