Qu'est-ce que la diagonale d'un pavé droit ?
Un pavé droit (aussi appelé parallélépipède rectangle ou simplement « boîte ») possède trois dimensions : la longueur (l), la largeur (L) et la hauteur (h). La diagonale dans l'espace est la ligne droite qui relie un coin de la boîte au coin diamétralement opposé en traversant son intérieur. C'est le plus long segment rectiligne que l'on peut loger à l'intérieur du pavé. Ce calculateur en détermine instantanément la longueur à partir des trois côtés.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez la longueur, la largeur et la hauteur de votre boîte dans une même unité (cm, pouces, mètres — peu importe, tant que les trois sont identiques). Le calculateur affiche la diagonale dans l'espace exprimée dans cette même unité, ainsi que la diagonale de la base et le volume, pour plus de commodité.
La formule expliquée
La diagonale dans l'espace s'obtient en appliquant deux fois le théorème de Pythagore. D'abord, la diagonale du rectangle de base vaut \(\sqrt{l^2 + L^2}\). Ensuite, cette diagonale de base et la hauteur forment un triangle rectangle, ce qui donne la diagonale complète en 3D :
$$d = \sqrt{l^2 + L^2 + h^2}$$Cela fonctionne parce que les trois arêtes sont perpendiculaires deux à deux : il suffit donc d'additionner leurs longueurs au carré.
Exemple concret
Imaginons une boîte de dimensions \(l = 3\), \(L = 4\) et \(h = 12\). On a alors $$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$ L'objet le plus long que l'on puisse glisser d'un coin à l'autre à l'intérieur de la boîte mesure donc 13 unités.
Questions fréquentes
L'ordre de l, L et h a-t-il une importance ? Non. Comme les trois termes sont élevés au carré puis additionnés, vous pouvez les intervertir librement : le résultat reste identique.
Dans quelle unité s'exprime le résultat ? Dans la même unité que celle que vous avez saisie. Utilisez une unité cohérente pour les trois dimensions.
Quelle est la différence entre la diagonale d'une face et la diagonale dans l'espace ? La diagonale d'une face reste à plat sur un côté de la boîte, tandis que la diagonale dans l'espace traverse l'intérieur : elle est donc toujours plus longue.
