Qu'est-ce que le cercle inscrit d'un triangle ?
Le cercle inscrit est le plus grand cercle que l'on peut placer à l'intérieur d'un triangle, tangent à ses trois côtés. Son centre est le centre du cercle inscrit (le point d'intersection des bissectrices) et son rayon, noté \(r\), porte le nom de rayon du cercle inscrit. Ce calculateur détermine ce rayon ainsi que les mesures associées au cercle inscrit, directement à partir des longueurs des trois côtés \(a\), \(b\) et \(c\).
Comment l'utiliser
Saisissez la longueur des trois côtés de votre triangle, en utilisant la même unité pour tous. Le calculateur vérifie d'abord que le triangle est valide, puis renvoie le rayon \(r\) ainsi que l'aire du triangle, le demi-périmètre, et enfin l'aire et la circonférence du cercle inscrit. Assurez-vous que vos trois côtés forment réellement un triangle : chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres.
La formule expliquée
Le rayon du cercle inscrit découle d'une identité élégante : l'aire d'un triangle est égale au produit de ce rayon par son demi-périmètre, d'où \(r = \text{Aire} / s\). Le demi-périmètre vaut \(s = (a + b + c) / 2\). L'aire se calcule grâce à la formule de Héron, $$\text{Aire} = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)}$$ qui ne requiert que les longueurs des côtés — sans aucun angle ni hauteur.
Exemple concret
Prenons un triangle rectangle 3-4-5. Le demi-périmètre est $$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$ La formule de Héron donne $$\text{Aire} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ Le rayon du cercle inscrit vaut donc $$r = \frac{6}{6} = 1$$ L'aire du cercle inscrit est \(\pi \cdot 1^2 \approx 3{,}1416\) et sa circonférence \(2\pi \cdot 1 \approx 6{,}2832\).
Questions fréquentes
Dans quelle unité s'expriment les résultats ? Dans la même unité que celle des côtés que vous saisissez : le rayon partage la même unité de longueur, et l'aire s'exprime en unités au carré.
Pourquoi le résultat est-il nul ou absent ? Les côtés ne respectent pas l'inégalité triangulaire : aucun triangle valide (ni cercle inscrit) n'existe dans ce cas.
Quelle différence avec le cercle circonscrit ? Le cercle inscrit se situe à l'intérieur du triangle et touche ses côtés ; le cercle circonscrit, lui, passe par les trois sommets et son rayon se calcule avec \(R = abc / (4 \cdot \text{Aire})\).
