三角形の内接円とは？
内接円とは、三角形の内部にぴったり収まり、3辺すべてに接する最も大きな円のことです。その中心は「内心」と呼ばれ、3つの角の二等分線が交わる点に一致します。また、その半径は「内接半径」と呼ばれ、記号 \(r\) で表します。この計算ツールでは、3辺の長さ \(a\)・\(b\)・\(c\) を入力するだけで、内接半径と内接円に関する各種の値を一度に求められます。
使い方
三角形の3辺の長さを、単位をそろえて入力してください。ツールはまず三角形として成立するかを確認したうえで、内接半径 \(r\) に加え、三角形の面積、半周長、そして内接円の面積と円周を返します。入力した3辺が本当に三角形を作れるかどうかにご注意ください。どの辺も、残り2辺の和より短くなければなりません。
計算式の解説
内接半径は、ある美しい関係式から導かれます。三角形の面積は「内接半径 × 半周長」に等しいため、\(r = \text{面積} \div s\) となります。半周長は $$ s = \frac{a + b + c}{2} $$ です。面積はヘロンの公式 $$ \text{面積} = \sqrt{s\,(s - a)(s - b)(s - c)} $$ で求められ、辺の長さだけがあれば計算できます。角度や高さは一切必要ありません。
具体例で確認
辺の長さが 3・4・5 の直角三角形を例にとってみましょう。半周長は $$ s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6 $$ です。ヘロンの公式から $$ \text{面積} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 $$ となります。したがって内接半径は \(r = 6 \div 6 = 1\) です。内接円の面積は \(\pi \times 1^2 \approx 3.1416\)、円周は \(2\pi \times 1 \approx 6.2832\) になります。
よくある質問
結果はどの単位で表示されますか？ 辺を入力した単位がそのまま使われます。内接半径は辺と同じ長さの単位、面積はその平方の単位で表されます。
ゼロや「結果なし」になるのはなぜですか？ 入力した3辺が三角形の成立条件（三角不等式）を満たしていないためです。この場合、有効な三角形は存在せず、内接円も求められません。
外接円とは何が違うのですか？ 内接円は三角形の内側にあり、3辺に接します。一方、外接円は3つの頂点すべてを通る円で、半径は \(R = abc \div (4 \times \text{面積})\) で求められます。
