त्रिभुज का अंतर्वृत्त क्या होता है?
अंतर्वृत्त (incircle) वह सबसे बड़ा वृत्त होता है जो किसी त्रिभुज के अंदर समा सकता है और उसकी तीनों भुजाओं को छूता है। इसका केंद्र अंतःकेंद्र (incenter) कहलाता है, जहाँ त्रिभुज के तीनों कोण-समद्विभाजक मिलते हैं, और इसकी त्रिज्या को अंतःत्रिज्या (inradius) कहते हैं, जिसे \(r\) से दर्शाया जाता है। यह कैलकुलेटर सीधे तीन भुजाओं \(a\), \(b\) और \(c\) की लंबाई से अंतःत्रिज्या और अंतर्वृत्त से जुड़े अन्य माप निकाल देता है।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
अपने त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई किसी एक ही समान इकाई में भरें। कैलकुलेटर सबसे पहले यह जाँचता है कि त्रिभुज वैध है या नहीं, फिर अंतःत्रिज्या \(r\) के साथ-साथ त्रिभुज का क्षेत्रफल, अर्ध-परिमाप (semi-perimeter) और अंतर्वृत्त का क्षेत्रफल व परिधि लौटाता है। ध्यान रखें कि आपकी तीनों भुजाएँ वास्तव में एक त्रिभुज बनाएँ — हर भुजा बाकी दो भुजाओं के योग से छोटी होनी चाहिए।
सूत्र को समझें
अंतःत्रिज्या एक सुंदर सम्बन्ध से निकलती है: त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी अंतःत्रिज्या और अर्ध-परिमाप के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए \(r = \text{क्षेत्रफल} / s\)। अर्ध-परिमाप \(s = (a + b + c) / 2\) होता है। क्षेत्रफल हीरोन सूत्र से निकाला जाता है — $$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$ — जिसके लिए केवल भुजाओं की लंबाई चाहिए, न कोई कोण और न ही ऊँचाई।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए एक 3-4-5 समकोण त्रिभुज है। अर्ध-परिमाप \(s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6\) होगा। हीरोन सूत्र से क्षेत्रफल $$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ आता है। अतः अंतःत्रिज्या \(r = 6 / 6 = 1\) हुई। अंतर्वृत्त का क्षेत्रफल \(\pi \cdot 1^2 \approx 3.1416\) और इसकी परिधि \(2\pi \cdot 1 \approx 6.2832\) होगी।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
परिणाम किस इकाई में आता है? जिस इकाई में आप भुजाएँ भरते हैं उसी में: अंतःत्रिज्या वही लंबाई-इकाई इस्तेमाल करती है, जबकि क्षेत्रफल वर्ग-इकाई में आता है।
मुझे शून्य या कोई परिणाम क्यों नहीं मिल रहा? क्योंकि आपकी भुजाएँ त्रिभुज असमानता (triangle inequality) को पूरा नहीं करतीं, इसलिए कोई वैध त्रिभुज (और कोई अंतर्वृत्त) नहीं बनता।
यह परिवृत्त (circumcircle) से कैसे अलग है? अंतर्वृत्त त्रिभुज के अंदर बैठकर उसकी भुजाओं को छूता है; जबकि परिवृत्त तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है और उसके लिए \(R = abc / (4 \cdot \text{क्षेत्रफल})\) सूत्र इस्तेमाल होता है।
