Калькулятор вписанной окружности треугольника

Введите расчет

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Результатов

Радиус вписанной окружности (r)

1

радиус вписанной окружности

Площадь треугольника	6
Полупериметр (p)	6
Площадь вписанной окружности (πr²)	3,1416
Длина вписанной окружности (2πr)	6,2832

Что такое вписанная окружность треугольника?

Вписанная окружность — это самая большая окружность, которая помещается внутри треугольника и касается всех трёх его сторон. Её центр называется инцентром (точка пересечения биссектрис), а радиус — радиусом вписанной окружности и обозначается буквой \(r\). Этот калькулятор находит радиус \(r\) и связанные с ним величины прямо по трём сторонам \(a\), \(b\) и \(c\).

Вписанная окружность плотно помещается внутри треугольника, касаясь всех трёх сторон, с радиусом \(r\) из инцентра.

Как пользоваться калькулятором

Введите длины трёх сторон треугольника в любых одинаковых единицах. Калькулятор сначала проверяет, существует ли такой треугольник, а затем выдаёт радиус \(r\), площадь треугольника, полупериметр, а также площадь и длину вписанной окружности. Убедитесь, что три стороны действительно образуют треугольник: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других.

Разбор формулы

Радиус вписанной окружности выводится из изящного соотношения: площадь треугольника равна произведению радиуса \(r\) на полупериметр, поэтому \(r = S / p\). Полупериметр вычисляется как \(p = (a + b + c) / 2\). Площадь находится по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p\,(p - a)(p - b)(p - c)}$$

для которой нужны только длины сторон — углы и высота не требуются.

Реклама

Радиус вписанной окружности связывает площадь и полупериметр: \(r = \text{Площадь} / s\), так как три радиуса делят треугольник.

Пример расчёта

Возьмём прямоугольный треугольник со сторонами 3-4-5. Полупериметр: \(p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6\). По формуле Герона площадь равна $$S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6.$$ Значит, радиус вписанной окружности \(r = 6 / 6 = 1\). Площадь вписанной окружности составит \(\pi \cdot 1^2 \approx 3{,}1416\), а её длина — \(2\pi \cdot 1 \approx 6{,}2832\).

Частые вопросы

В каких единицах получается результат? В тех же, в которых вы ввели стороны: радиус выражается в той же единице длины, а площадь — в квадратных единицах.

Почему результат равен нулю или его нет? Стороны не удовлетворяют неравенству треугольника, поэтому такого треугольника (и вписанной окружности) попросту не существует.

Чем это отличается от описанной окружности? Вписанная окружность лежит внутри треугольника и касается его сторон, а описанная проходит через все три вершины и вычисляется по формуле \(R = abc / (4 \cdot S)\).