Qu'est-ce qu'une médiane d'un triangle ?
Une médiane d'un triangle est un segment de droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Tout triangle possède exactement trois médianes, et elles se croisent toutes en un même point appelé centre de gravité (ou barycentre), qui partage chaque médiane dans un rapport de 2:1. Ce calculateur détermine la longueur des trois médianes directement à partir des longueurs des trois côtés a, b et c.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez les longueurs des trois côtés de votre triangle dans les champs Côté a, Côté b et Côté c. Utilisez une unité cohérente (cm, m, pouces — le résultat s'exprime dans la même unité). Cliquez sur Calculer et vous obtiendrez la médiane relative à chaque côté. La médiane \(m_a\) est celle tracée vers le côté a, \(m_b\) vers le côté b et \(m_c\) vers le côté c.
La formule expliquée
La longueur de la médiane relative au côté a est donnée par le théorème d'Apollonius (aussi appelé théorème de la médiane) :
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}$$
Par symétrie, les deux autres médianes s'obtiennent en intervertissant le rôle des côtés :
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2c^{2} - b^{2}} \quad \text{et} \quad m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}$$
Remarquez que la médiane relative au côté c utilise les carrés des côtés a et b, et NON celui de c : c'est toujours le côté visé par la médiane qui est soustrait.
Exemple résolu
Pour un triangle rectangle dont les côtés mesurent a = 6, b = 8, c = 10 :
$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 6^{2} + 2\cdot 8^{2} - 10^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 128 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5.$$
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 64 + 2\cdot 100 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{292} \approx 8{,}544.$$
$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2\cdot 36 + 2\cdot 100 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{208} \approx 7{,}211.$$
Questions fréquentes
Les trois médianes se rencontrent-elles toujours en un seul point ? Oui — elles se coupent systématiquement au centre de gravité, qui correspond au centre de masse du triangle.
Que se passe-t-il si mes valeurs ne forment pas un triangle valide ? L'expression sous la racine carrée doit être positive. Pour des combinaisons de côtés impossibles, le calculateur renvoie 0.
La médiane est-elle identique à la hauteur ou à la bissectrice ? Non. Une médiane aboutit au milieu du côté opposé, tandis qu'une hauteur lui est perpendiculaire et qu'une bissectrice partage l'angle en deux. Elles ne se confondent que dans des cas particuliers, comme le triangle équilatéral.
