Qu'est-ce que le calculateur de circonférence d'une ellipse ?
Une ellipse est une courbe ovale définie par deux rayons : le demi-grand axe (\(a\)), c'est-à-dire la plus grande distance entre le centre et le bord, et le demi-petit axe (\(b\)), la plus courte. Si l'aire d'une ellipse se calcule facilement, sa circonférence (son périmètre) ne possède aucune formule exacte simple : elle fait appel à une série infinie. Ce calculateur de circonférence d'une ellipse s'appuie sur une approximation d'une grande précision pour vous fournir le périmètre, mais aussi l'aire et l'excentricité, en une seule opération.
Comment l'utiliser ?
Quelques secondes suffisent :
- Saisissez la longueur du demi-grand axe (\(a\)), le plus grand rayon.
- Saisissez la longueur du demi-petit axe (\(b\)), le plus petit rayon.
- Lisez immédiatement les résultats : circonférence, aire et excentricité.
Veillez à exprimer les deux valeurs dans la même unité (cm, m, pouces, etc.). Lorsque \(a\) est égal à \(b\), l'ellipse devient un cercle parfait et la circonférence vaut alors \(2\pi r\).
La formule expliquée
L'approximation la plus répandue est la seconde formule de Ramanujan, dont la précision dépasse une infime fraction de pour cent pour la plupart des ellipses :
- Circonférence $$C \approx \pi\,(a+b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right), \quad \text{où}\quad h = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$
- Aire $$= \pi \times a \times b$$
- Excentricité $$= \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$
L'excentricité varie de 0 (un cercle) à une valeur proche de 1 (une ellipse très aplatie et allongée).
Exemple détaillé
Prenons une ellipse avec \(a = 5\) cm et \(b = 3\) cm.
- $$h = \frac{(5 - 3)^2}{(5 + 3)^2} = \frac{4}{64} = 0{,}0625$$
- $$C \approx \pi \times 8 \times \left(1 + \frac{3 \times 0{,}0625}{10 + \sqrt{4 - 0{,}1875}}\right) \approx 25{,}53 \text{ cm}$$
- $$\text{Aire} = \pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}12 \text{ cm}^2$$
- $$\text{Excentricité} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$
Questions fréquentes
Pourquoi n'existe-t-il pas de formule exacte pour la circonférence ? Le périmètre fait intervenir une intégrale elliptique qui ne peut s'exprimer à l'aide de fonctions élémentaires ; on recourt donc à des approximations comme celle de Ramanujan.
Quelle est la précision du résultat ? L'approximation de Ramanujan est précise à plusieurs décimales pour les ellipses courantes, avec une erreur généralement bien inférieure à 0,01 %.
Puis-je calculer un cercle avec cet outil ? Oui. Il suffit de donner à \(a\) et \(b\) la même valeur : le calculateur renvoie alors la circonférence du cercle (\(2\pi r\)) et son aire (\(\pi r^2\)).
